PDEの結合システムを分離する効果

8

私は以前にやや似たような質問をしましたが、おそらくあまりに具体的すぎて誰も本当に答えることができなかったかもしれません。これが私が苦労している質問のもう少し一般的なものです。次のシステムを考えてみましょう：

- \nabla \cdot (D_{1} (u_{2}) \nabla u_{1}) = \nabla \cdot f_{1} (u_{2})

$-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2})\nabla u_{1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2})$

\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla \cdot f_{2} (u_{1}, u_{2}) - \nabla \cdot (D_{2} (u_{2}) \nabla u_{2}) = 0

$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2})\nabla u_{2}) = 0$

BCの一般的なセットを想定：

u_{i} = u_{i, D}, on Γ_{D}

$u_{i} = u_{i,D}, \;\;\;\text{on}\;\Gamma_{D}$

D_{i} \nabla u_{i} \cdot n = u_{i, N}, on Γ_{N}

$D_{i}\nabla u_{i}\cdot\mathbf{n} = u_{i,N}, \;\;\;\text{on} \;\Gamma_{N}$

空間離散化にはDGFEMを使用し、時間微分には後方オイラーを使用します。このように分離します。

解く用いて、： $u_{1}^{k+1}$ $u_{2}^{k}$
$- \nabla \cdot (D_{1} (u_{2}^{k}) \nabla u_{1}^{k + 1}) = \nabla \cdot f_{1} (u_{2}^{k})$ $-\nabla\cdot(D_{1}(u_{2}^{k})\nabla u_{1}^{k+1}) = \nabla\cdot\mathbf{f}_{1}(u_{2}^{k})$
解く使用して： $u_{2}^{k+1}$ $u_{1}^{k+1}$
$\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla \cdot f_{2} (u_{1}^{k + 1}, u_{2}^{k}, u_{2}^{k + 1}) - \nabla \cdot (D_{2} (u_{2}^{k + 1}) \nabla u_{2}^{k + 1}) = 0$ $\frac{\partial u_{2}}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) - \nabla\cdot(D_{2}(u_{2}^{k+1})\nabla u_{2}^{k+1}) = 0$

ニュートン法は非線形性を処理するために使用されます。

f_{2} (u_{1}, u_{2}) = u_{2} (- \nabla u_{1} + u_{2} \nabla u_{2})

$\mathbf{f}_{2}(u_{1},u_{2}) = u_{2}(-\nabla u_{1} + u_{2}\nabla u_{2})$

そう

f_{2} (u_{1}^{k + 1}, u_{2}^{k}, u_{2}^{k + 1}) = u_{2}^{k + 1} (- \nabla u_{1}^{k + 1} + u_{2}^{k} \nabla u_{2}^{k})

$\mathbf{f}_{2}(u_{1}^{k+1},u_{2}^{k},u_{2}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k})$

$\mathbf{f}_{2}$ $u_{1}^{k+1}$ $u_{2}^{k}$ $u_{2}^{k+1}$ $\mathbf{f}_{2}$ $u_{2}^{k}$ $-\nabla u_{1}^{k+1} + u_{2}^{k}\nabla u_{2}^{k}$

$\mathbf{f}_{2} = \mathbf{f}_{2}(u_{1,\text{exact}}^{k+1}, u_{2}^{k+1}, u_{2,\text{exact}}^{k+1}) = u_{2}^{k+1}(-\nabla u_{1,\text{exact}}^{k+1} + u_{2,\text{exact}}^{k+1}\nabla u_{2,\text{exact}}^{k+1})$

デカップリングを前提として、最初のシナリオでこの次善のパフォーマンスが期待されますか？デカップリングによって時間ステップが制限されることはわかっていますが、時間ステップを十分に小さくしていることは確かです。

$\mathbf{f}_{2}$ $u_{2}\nabla u_{2}$ $u_{1}^{k+1}$

私はデカップリングが収束にどのような影響を与えるかについての多くの文献を見つけることができなかったので、誰かが私を正しい方向に向けるか、いくつかのアドバイスを提供できれば、それは素晴らしいでしょう。

pde finite-element reference-request

— ジャスティン・ドン
ソース

3

それらを分離するのではなく、分割方法を適用します。

— David Ketcheson、2014

訂正ありがとうございます。私はこの質問を忘れずに、まだ取り組んでいます。機能するようになったら更新します...

— Justin Dong

3

これは間違いなく分割スキームとして知られているものであり、非線形光学や量子シミュレーションで非常に人気があります。例は、Dirac方程式ですが、非線形PDESでも実行できます。

$u_1^{k+1}$ $u_2^k$ $u_1^{k+1}$ $u_2^{k+1}$

$u_1$ $u_2$ $u_1$ $u_2$ $Lu_1$ $f=\nabla \cdot f_2(u_2)$ $G(x;u_2)$ $LG=\delta(x-s)$ $u_1$

$u_1=\int_{\Omega} G((x-s);u_2)fds$

$u_2^{k+1}$ $u_1^{k+1}$ $u_2^{k+1}$

このデカップリングまたは分割には柔軟性がありますが、これは方程式に優れたスキームをもたらす可能性があります。興味のあるコンテキストでの分割の優れた紹介は、ボイドの「チェビシェフとフーリエスペクトル法」の第13章「分割とその従兄弟」にあります。

お役に立てれば

— マイク・マクニール
ソース

1

解決しようとしているPDEを正確に知らないと、言うのは少し難しいです。そうは言っても、おそらく見るべきいくつかの場所は

結合線形システムでは、Uzawaおよび拡張ラグランジュ法が一般的な分割スキームの例です。ブロックのスペクトルと結合ブロックシステムのSchur補集合に基づくこれらの方法の収束に関する既知の結果があります（鞍点問題の解決については、Bramble et alを参照）。
PDEのさまざまな分割方法に関する豊富な資料があります。これらは主に線形問題用に定式化されていますが、非線形方程式への拡張には十分な使用法と理論があります。たとえば、少なくとも対流拡散と非圧縮性流れを支配する非線形PDEの場合、分割/射影スキームにはかなり豊かな歴史があります。

$u_1$ $u_2$ $u_1$ $u_2$

— ジェシー・チャン
ソース