タグ付けされた質問 「pde」

偏微分方程式(PDE)は、複数の変数の関数の偏微分を関連付ける方程式です。このタグは、PDEによる現象のモデリング、PDEの解決、およびその他の関連する側面に関する質問を対象としています。

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Python用の高品質な非線形プログラミングソルバーはありますか?
解決すべきいくつかの挑戦的な非凸のグローバル最適化問題があります。現在、MATLABのOptimization Toolbox(特にfmincon()algorithm ='sqp'を使用)を使用していますが、これは非常に効果的です。ただし、私のコードのほとんどはPythonで作成されているため、Pythonでも最適化を行いたいと考えています。競合できるPythonバインディングを備えたNLPソルバーはありfmincon()ますか?ちがいない 非線形等式および不等式の制約を処理できる ユーザーがヤコビアンを提供する必要はありません。 グローバルな最適化を保証していなくても構いません(保証fmincon()しません)。私は、困難な問題や、それよりもわずかに遅い場合でも、ローカル最適にロバストに収束するものを探していfmincon()ます。 OpenOptで利用できるソルバーをいくつか試しましたが、MATLABのソルバーより劣っていfmincon/sqpます。 強調するために、私はすでに扱いやすい定式化と優れたソルバーを持っています。私の目標は、ワークフローをより合理化するために、単に言語を変更することです。 Geoffは、問題のいくつかの特性が関連している可能性があると指摘しています。彼らです: 10-400の決定変数 4〜100の多項式等式制約(1〜8の範囲の多項式次数) 決定変数の数の約2倍に等しい合理的な不等式制約の数 目的関数は決定変数の1つです 不等式制約のヤコビアンと同様に、等式制約のヤコビアンは密です。

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有限差分と有限要素の間で選択する基準は何ですか
私は、非常に制約のあるグリッド上で、有限要素の特殊なケースとして有限差分を考えることに慣れています。では、数値法として有限差分法(FDM)と有限要素法(FEM)を選択する条件は何ですか? 有限差分法(FDM)の側面では、有限要素法(FEM)よりも概念的にシンプルで実装しやすいと考えるかもしれません。FEMには非常に柔軟性があるという利点があります。たとえば、グリッドは非常に不均一であり、ドメインは任意の形状を持つことがあります。 FDMがFEMよりも優れていることがわかっている唯一の例は 、ZarbaのBouloutasのCeliaにあります。ここでは、時間微分の異なる離散化を使用するFDメソッドによる利点がありますが、有限要素法に固定することもできます。

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完全に閉じたノイマン境界条件(境界での反射)を伴う有限差分によって移流方程式を解くときの奇妙な振動
私は移流方程式を解こうとしていますが、境界から波が反射すると、解に奇妙な振動が現れます。私が原因とその回避方法を知りたいと思う前に誰かがこの人工物を見たなら! これはアニメーションGIFで、別のウィンドウで開いてアニメーションを表示します(キャッシュされているのは一度だけ再生されるか、一度に再生されないかです!) 波が最初の境界から反射し始めるまで、伝播は非常に安定しているように見えることに注意してください。ここで何が起こると思いますか?数日かけてコードを再確認しましたが、エラーが見つかりません。奇妙なのは、2つの伝播ソリューションがあるように見えることです。1つはポジティブなソリューションで、もう1つはネガティブなソリューションです。最初の境界からの反射後。ソリューションは、隣接するメッシュポイントに沿って移動しているようです。 実装の詳細は次のとおりです。 移流方程式 ∂あなたは∂t= V ∂あなたは∂バツ∂u∂t=v∂u∂x\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} ここで、は伝播速度です。vv\boldsymbol{v} Crank-Nicolsonは、が空間でゆっくりと変化する(フーリエ変換時に低周波数成分のみを含む場合、移流方程式の無条件(pdfリンク)の 安定した離散化です。u (x )u(x)u(x) 私が適用した離散化は、 ϕn + 1j− ϕnjΔ トン= V [ 1 - β2 Δ X(φnj + 1− ϕnj − 1) + β2 Δ X(φn + 1j + 1− ϕn + 1j − 1) ...

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PDEを解くときに、局所保存が重要なのはなぜですか?
エンジニアは、PDEを解くために、有限体積、保守的有限差分、不連続ガラーキン法などの局所的に保守的な方法を使用することをしばしば主張します。 ローカルで保守的でない方法を使用すると、何が問題になる可能性がありますか? さて、局所保存は双曲線PDEにとって重要ですが、楕円PDEについてはどうですか?

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Crank-Nicolsonは、反応-拡散-移流(対流)方程式の安定した離散化スキームですか?
私は、PDEの一般的な離散化スキームにあまり精通していません。Crank-Nicolsonは拡散方程式を離散化するための一般的なスキームであることを知っています。移流項にも適していますか? 私は反応-拡散-移流方程式を解くのに興味があります。 ∂u∂t+∇⋅(vu−D∇u)=f∂u∂t+∇⋅(vu−D∇u)=f\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f ここで、は物質拡散係数で、は速度です。DDDvuuuvv\boldsymbol{v} 私の特定のアプリケーションでは、方程式は次の形式で記述できます。 ∂u∂t=D∂2u∂x2Diffusion+v∂u∂xAdvection (convection)+f(x,t)Reaction∂u∂t=D∂2u∂x2⏟Diffusion+v∂u∂x⏟Advection (convection)+f(x,t)⏟Reaction\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}} これが私が適用したクランク・ニコルソン方式です、 あなたはn + 1j- UnjΔ トン= D [ 1 - β(Δは、xは)2(unj − 1− 2 unj+ ...

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移流拡散方程式に適用されるノイマン境界条件を使用する場合の物理量の保存
異なる境界条件を適用すると、移流拡散方程式の異なる動作が理解できません。私の動機は、拡散と移流のもとでの実際の物理量(粒子密度)のシミュレーションです。粒子密度は、端から流出しない限り、内部で保存する必要があります。この論理により、システムの両端に(左側および右側)などのノイマン境界条件を適用すると、システムは「閉じる」、つまり境界でのフラックスがゼロの場合、粒子は逃げることができません。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0 以下のすべてのシミュレーションでは、Crank-Nicolson離散化を移流拡散方程式に適用し、すべてのシミュレーションには境界条件があります。ただし、行列の最初と最後の行(境界条件の行)については、内部値に関係なくを変更できます。これにより、エンドポイントが完全に暗黙的になります。∂ϕ∂x=0∂ϕ∂x=0\frac{\partial \phi}{\partial x}=0ββ\beta 以下に4つの異なる構成について説明しますが、そのうちの1つだけが期待したものです。最後に、実装について説明します。 拡散のみの制限 ここでは、速度をゼロに設定すると移流項がオフになります。 拡散のみ、すべてのポイントでββ\boldsymbol{\beta} = 0.5(Crank-Niscolson) パルス面積が減少することからわかるように、量は保存されません。 拡散のみ、内部ポイントで = 0.5(クランクニコルソン)、境界で = 1(完全暗黙)ββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 境界で完全に暗黙的な方程式を使用することで、期待どおりの結果が得られます。粒子が逃げません これは、粒子が拡散するにつれて保存される領域で確認できます。なぜ選択する必要があり境界点では、状況の物理学に影響を与えますか?これはバグですか、それとも予想ですか?ββ\beta 拡散と移流 移流項が含まれる場合、境界のの値は解に影響を与えないようです。ただし、境界が「開いている」ように見えるすべての場合、つまり粒子は境界から逃げることができます。これはなぜですか?ββ\beta すべてのポイントでの = 0.5(Crank-Niscolson)による移流と拡散ββ\boldsymbol{\beta} 内点での = 0.5(Crank-Niscolson)、および境界での = 1(完全暗黙)による移流と拡散ββ\boldsymbol{\beta}ββ\boldsymbol{\beta} 移流拡散方程式の実装 移流拡散方程式から始めて、 ∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x∂ϕ∂t=D∂2ϕ∂x2+v∂ϕ∂x \frac{\partial \phi}{\partial t} = D\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \boldsymbol{v}\frac{\partial \phi}{\partial x} Crank-Nicolsonを使用して書くと、 ϕn+1j−ϕnjΔt=D[1−β(Δx)2(ϕnj−1−2ϕnj+ϕnj+1)+β(Δx)2(ϕn+1j−1−2ϕn+1j+ϕn+1j+1)]+v[1−β2Δx(ϕnj+1−ϕnj−1)+β2Δx(ϕn+1j+1−ϕn+1j−1)]ϕjn+1−ϕjnΔt=D[1−β(Δx)2(ϕj−1n−2ϕjn+ϕj+1n)+β(Δx)2(ϕj−1n+1−2ϕjn+1+ϕj+1n+1)]+v[1−β2Δx(ϕj+1n−ϕj−1n)+β2Δx(ϕj+1n+1−ϕj−1n+1)] \frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} ...

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FEM離散化の弱い形式を導出する際に、部品による統合を使用する目的は何ですか?
PDEの強力な形式からFEM形式に移行する場合、最初に変分形式を述べることで常にこれを行う必要があるようです。これを行うには、強力な形式に何らかの(ソボレフ)空間の要素を掛けて、地域全体に統合します。これは受け入れられます。私が理解していないのは、なぜグリーンの式を使用する必要があるのか​​(1回または数回)です。 私は主にポアソンの方程式を扱ってきたので、例として(同種のディリクレ境界条件で)それをとると、 −∇2uu=f,u∈Ω=0,u∈∂Ω−∇2u=f,u∈Ωu=0,u∈∂Ω \begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align} 変分形式を形成する正しい方法は ∫Ωfvdx⃗ =−∫Ω∇2uvdx⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ −∫∂Ωn⃗ ⋅∇uvds⃗ =∫Ω∇u⋅∇vdx⃗ .∫Ωfvdx→=−∫Ω∇2uvdx→=∫Ω∇u⋅∇vdx→−∫∂Ωn→⋅∇uvds→=∫Ω∇u⋅∇vdx→. \begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align} しかし、最初の行の式を使用できないのは、FEMフォームを取得するために使用できる変分形式ではないのですか?双線形および線形形式b(u,v)=(∇2u,v)b(u,v)=(∇2u,v)b(u,v)=(\nabla^2 u, v)およびl(v)=(f,v)l(v)=(f,v)l(v)=(f, v)ませんか?ここでの問題は、線形基底関数(形状関数)を使用すると、剛性マトリックスがヌルマトリックス(反転不可)になるため、問題が発生することですか?しかし、非線形形状関数を使用するとどうなりますか?まだグリーンの式を使用する必要がありますか?する必要がない場合:推奨されますか?そうでない場合、変則的ではあるが弱くない定式化がありますか? ここで、高階微分を持つPDEがあるとしましょう。これは、グリーンの公式の使用方法に応じて、多くの可能な変分形式があることを意味しますか そして、それらはすべて(異なる)FEM近似につながりますか?

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時間ディメンションが特別なのはなぜですか?
一般的に言えば、数値アナリストは、 「もちろん、数学的に言えば、時間は単なる別の次元ですが、それでも時間は特別です」 これを正当化する方法は?計算科学にとって特別な時間とはどのような意味ですか? さらに、なぜ私たちは時間次元に対して有限差分を使用することを好むのですか?考えられる理由の1つは、時間ディメンションにIVPがあり、空間ディメンションにBVPがある傾向があることです。しかし、これで完全に正当化されるとは思わない。


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制約付き最適化のためのソフトウェアパッケージ?
いくつかの変数(具体的にはボックス化された制約)の境界がわかっている制約付き最適化問題を解決しようとしています。 arg分あなたはf(u 、x )arg⁡minuf(u,x) \arg \min_u f(u,x) の対象 A ≤ D (U 、X )≤ Bc (u 、x )= 0c(u,x)=0 c(u,x) = 0 ≤ D(U 、X )≤ Ba≤d(u,x)≤b a \le d(u,x) \le b ここで、あなたはuuは設計変数のベクトル、バツxxは状態変数のベクトル、c (u 、x )c(u,x)c(u,x)は等式制約(通常はPDE)です。下限および上限の制約aaaおよびbbbは、空間的に可変です。 この形式のシステムを処理できるパッケージはどれですか?

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Galerkin法で境界条件を組み込む方法
私はPDEを解くためのGalerkinの方法に関するウェブ上のいくつかのリソースを読んでいますが、何かについて明確ではありません。以下は、私が理解したことに関する私自身の説明です。 次の境界値問題(BVP)を検討してください。 L[u(x,y)]=0on(x,y)∈Ω,S[u]=0on(x,y)∈∂ΩL[u(x,y)]=0on(x,y)∈Ω,S[u]=0on(x,y)∈∂ΩL[u(x,y)]=0 \quad \text{on}\quad (x,y)\in\Omega, \qquad S[u]=0 \quad \text{on} \quad (x,y)\in\partial\Omega ここで、LLL微分演算子線形2次であり、Ω⊂R2Ω⊂R2\Omega\subset\mathbb{R}^2、BVPのドメインである∂Ω∂Ω\partial\Omegaドメインの境界であり、そしてSSS微分演算子線形1次です。次の形式の近似としてu(x,y)u(x,y)u(x,y)を期待します。 u(x,y)≈∑i=1Naigi(x,y)u(x,y)≈∑i=1Naigi(x,y)u(x,y)\approx \sum_{i=1}^N a_i g_i(x,y) ここで、はuを近似するために使用する関数のセットです。BVPに置き換える:gigig_iuuu ∑iaiL[gi(x,y)]=R(a1,...,aN,x,y)∑iaiL[gi(x,y)]=R(a1,...,aN,x,y)\sum_i a_i L[g_i(x,y)]=R(a_1,...,a_N,x,y) 近似は正確ではないため、残差は正確にゼロではありません。ガラーキン-リッツローリー法では、最小R必要とすることによって機能を近似のセットに対しての⟨ R 、G 、I ⟩ = 0。したがってRRRRRR⟨R,gi⟩=0⟨R,gi⟩=0\langle R,g_i \rangle = 0 ⟨R,gi⟩=∑j=1Naj⟨L[gj],gi⟩=0⟨R,gi⟩=∑j=1Naj⟨L[gj],gi⟩=0\langle R,g_i \rangle = \sum_{j=1}^N a_j \langle L[g_j],g_i \rangle = 0 したがって、係数を見つけるには、行列方程式を解く必要があります。aiaia_i ⎛⎝⎜⟨L[g1],g1⟩…⟨L[g1],gN⟩………⟨L[gN],g1⟩…⟨L[gN],gN⟩⎞⎠⎟⎛⎝⎜a1…aN⎞⎠⎟=0(⟨L[g1],g1⟩…⟨L[gN],g1⟩………⟨L[g1],gN⟩…⟨L[gN],gN⟩)(a1…aN)=0\left( \begin{array}{ccc} \left\langle L\left[g_1\right],g_1\right\rangle & \ldots ...

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PDEの数値解が連続解に収束しているかどうかを判断する方法は?
ラックスの等価定理は、直線状の初期値問題の数値スキームの一貫性と安定性が収束するための必要十分条件である状態。しかし、非線形問題の場合、一貫性があり安定しているにもかかわらず、数値的手法は誤った結果に非常に合理的に収束する可能性があります。たとえば、このホワイトペーパーでは、1次元線形化浅水方程式に適用された1次ゴドノフ法が、不正解にどのように収束するかを示しています。 メッシュと時間ステップの洗練の下で明らかに自己収束は十分ではありませんが、正確な解は一般に非線形PDEには利用できません。

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擬似時間ステップとは何ですか?
PDEソルバーに関するいくつかの文献を読んでいると、今日疑似時間ステップという用語に出会いました。これは一般的な用語のようですが、そのための適切な定義や紹介記事を見つけることができませんでした。 したがって:擬似時間ステップとは何ですか?通常どのように使用されますか?

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ウェーブレットをPDEに適用するにはどうすればよいですか?
ウェーブレットメソッドをPDEに適用する方法を学びたいのですが、残念ながら、このトピックについて学ぶのに役立つリソースがわかりません。 ウェーブレットの多くの紹介は、補間理論に焦点を当てているようです。たとえば、できれば少数のウェーブレットの重ね合わせによって信号を組み立てます。PDEへの応用については、その主題に深く入ることなく言及されることがあります。私は、WFTを見たことがあるが、そのトピックについてこれ以上知識を持っていない人々のための良い要約記事に興味があります。もちろん、あなたがそれを行うことができると思うなら、良い要約も興味深いでしょう。 私は、どの種類の質問が典型的に現れるかという印象を得ることに特に興味があります。たとえば、リプシッツ境界を持つ有界領域のPDEに有限要素が通常適用されることを知っています。これは、定理空間(適合、不適合、幾何学、組み合わせ)を選択する際の典型的な質問であり、収束理論の確立方法(実際には、Galerkin理論はWaveletでそれほど違わないはずです)、実装では数学的事柄が実行可能であるという直観があります。このようなPDEのウェーブレットに関する鳥瞰的な視点は、私にとって非常に役立ちます。
18 pde  wavelet 

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構造化グリッドアダプティブメッシュリファインメント用の汎用ライブラリはありますか?
この投稿を改善したいですか?引用や回答が正しい理由の説明など、この質問に対する詳細な回答を提供します。十分な詳細のない回答は、編集または削除できます。 アダプティブメッシュリファインメント(AMR)は、PDEの数値解法で大きく変化する空間スケールの問題に対処するための一般的な手法です。構造化グリッド上のAMRにはどのような汎用ライブラリが存在しますか?理想的には、ライブラリがアダプティブメッシュのみを処理し、物理学と離散化(有限差分/ボリューム/要素)を提供する、PETScの精神にあるものが欲しいです。 理想的なライブラリは モジュラー:コードの記述方法やデータ構造の量が多すぎる 一般:私が使用している離散化の種類は気にしません 効率的:オーバーヘッドがかかりすぎない 並列で拡張性の高い これらの基準のサブセットのみに適合するライブラリは、引き続き関心の対象となります。 補遺:Donna CalhounのAMRパッケージの広範なリストは知っていますが、上記の基準に適合するパッケージはどれか(もしあれば)わかりません。だから、私は主に、それらの用語でどのように評価するかについて、1つまたは(より良い)さらに多くのパッケージで実際の経験を持っている人々から聞くことに興味があります。

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