時間ディメンションが特別なのはなぜですか？

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一般的に言えば、数値アナリストは、

「もちろん、数学的に言えば、時間は単なる別の次元ですが、それでも時間は特別です」

これを正当化する方法は？計算科学にとって特別な時間とはどのような意味ですか？

さらに、なぜ私たちは時間次元に対して有限差分を使用することを好むのですか？考えられる理由の1つは、時間ディメンションにIVPがあり、空間ディメンションにBVPがある傾向があることです。しかし、これで完全に正当化されるとは思わない。

pde discretization

— パトリック
ソース

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因果関係は、情報が時間内にのみ流れることを示しており、この事実を活用するようにアルゴリズムを設計する必要があります。タイムステップスキームはこれを行いますが、グローバルインタイムスペクトル法または他のアイデアは行いません。もちろん、誰もがなぜこの事実を悪用することを主張するのかという疑問です-しかし、それは理解しやすいです：あなたの空間問題にすでに100万の未知数があり、1000時間ステップを実行する必要がある場合、今日の典型的なマシンでは解決するのに十分なリソースがあります空間的な問題は次々にタイムステップごとに発生しますが、未知数の結合問題に対処するのに十分なリソースがありません。 $10^9$

状況は、輸送現象の空間的離散化の場合と実際にはそれほど変わりません。もちろん、グローバル結合アプローチを使用して、純粋な1次元移流方程式を離散化できます。ただし、効率を重視する場合は、ドメインの流入部分から流出部分に情報を運ぶダウンストリームスイープを使用するのがはるかに優れたアプローチです。それはまさに、時間ステップスキームが時間内に行うことです。

— ウルフギャング・バンガース
ソース

それは良い点です...メモリは間違いなく大きな制約です！:)

— ポール

私は、因果関係には自然に有限の違いが伴うが、「グローバルな結合」にはないという点を間違いなく見ています。逆に、BVPを解決するための「射撃方法」は、逆のことを行います。望ましくない因果関係が導入されます。分析的に言えば、特定の方程式（2次双曲線PDEなど）では、一意性のために因果関係が必要です。しかし、場合によってはそうではなく、時間内にスペクトル法も非常にうまくいくと思います。あなたが言うように、私はシステムのサイズを小さくすることも大きなことだと思います。そして、任意の空間次元よりも時間内にFDを行う方が理にかなっています。

— パトリック

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ヴォルフガングが彼の投稿で言及した因果関係と同様に、時間次元がミンコフスキー時空の観点から特別である理由を見ることができました。 $\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

次元時空と定義内積有する $(3+1)$ およびがミンコフスキー時空の2つの1形式の場合：

（ A 、 B ） = A_{バツ} B_{バツ} + A_{y} B_{y} + A_{z} B_{z} - \frac{1}{c^{2}} A_{t} B_{t}

$(A,B) = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z - \dfrac{1}{c^2}A_t B_t$

A

$A$

B

$B$

、

A = A_{x} d x + A_{y} d y + A_{z} d z + A_{t} d t

$A = A_x \rd x + A_y \rd y + A_z \rd z + A_t \rd t$

B

$B$ 同様の方法で定義されますが、内積（またはメートル法）を定義する背後にある直観は、時空の2つの異なるポイント（イベント）がゼロの距離を持つように絶対光速度の概念を課すことです（「同じ時間」。同じ光の円錐上にある場合、数十億光年離れた銀河の動きを、まるで彼らが今動いているように観測しているように）。

ご覧のとおり、この内積は光速でスケーリングされた時間次元の存在により正定ではないため、直観的に言えば、時空を伝播する量に関する問題を扱う場合、3の定理を単純に適用することはできません次元ユークリッドメトリック $c$ $(3+1)$

トピックから外れているかもしれませんが、空間と時空（楕円対双曲線）のもう1つの大きな違いは、ほとんどの楕円方程式は平衡をモデル化し、楕円は「素敵な」規則性を与えますが、双曲線問題にはあらゆる種類の不連続性があります（ショック、希薄化、等）。

編集：以前に学んだこと、ポアソン方程式や弾性などの典型的な楕円方程式、静的現象をモデル化し、データと「滑らかな」ソリューションを持っている定義に基づいて、違いを説明する専用の記事がないことを知りません関心のあるドメインの境界は「滑らか」です。これは支配微分演算子の楕円率（またはむしろ正定値特性）によるものです。このタイプの方程式は、非常に直感的なガラーキン型アプローチ（テスト関数と積分を掛け合わせます）部分的に）、典型的な連続有限要素がうまく機能します。熱方程式のような放物線方程式にも同様のことが当てはまります。これは本質的に時間で進行する楕円方程式であり、同様の「平滑化」特性を持ち、初期の鋭い角は時間とともに滑らかになり、

双曲線問題の場合、通常は保存則から派生し、「保守的」または「分散的」です。たとえば、ベクトル場で特定の量の流れを記述する線形移流方程式は、この特定の量が最初のように保存され、このベクトル場に沿って空間的に移動するだけで、不連続が伝播します。ただし、別の双曲線方程式であるシュレディンガー方程式は分散的であり、複素量の伝播であり、非振動初期状態は時間とともに異なる振動波パケットになります。

「時間ステップ」について述べたように、線形移流方程式BVPと非常によく似た、特定の速度を持つ時間「フィールド」内の量「フロー」を考えることができます。流入境界条件を課すだけです。すなわち、関心のあるドメインに流れ込むときの量はどのようなものであり、解決策は流出するときの量がどのようなものかを教えてくれます。これは、時間ステップを使用するすべての方法に非常に似ています。空間で2D移流方程式を解くことは、時空で1Dの片側伝搬問題を解くことに似ています。数値スキームについては、時空FEMについてグーグルで検索できます。

— シュハオ・カオ
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あなたの言うことのほとんどは私の頭の上にあると言わなければなりません。しかし、最後の段落は非常に興味深いものであり、間違いなく洞察を与えてくれます。（時空）対（楕円および双曲線）へのリンクはありますか？

— パトリック

@Patrick関心をお寄せいただきありがとうございます。回答をさらに編集しました。

— シュハオカオ

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いくつかの例外がありますが（たとえば、完全に離散的な有限要素法）、時間の離散化は一般に、情報の流れに本質的に連続した依存性を意味します。この依存関係は、半離散アルゴリズム（空間でのBVP、時間でのIVP）を制限して、サブ問題の解決策を逐次的に計算します。この離散化は、その単純さ、および分析者に空間と時間の両方でより高い精度を実現するための多くのよく開発されたアルゴリズムを提供するため、通常は好まれます。

空間次元で有限差分を使用することも可能です（そしてより簡単です）が、有限要素法は、差分法よりも関心のあるドメインのタイプ（たとえば、非正規形状）で柔軟性を提供します。空間離散化の「適切な」選択は、多くの場合、問題に大きく依存します。

— ポール
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