Crank-Nicolsonは、反応-拡散-移流（対流）方程式の安定した離散化スキームですか？

私は、PDEの一般的な離散化スキームにあまり精通していません。Crank-Nicolsonは拡散方程式を離散化するための一般的なスキームであることを知っています。移流項にも適していますか？

私は反応-拡散-移流方程式を解くのに興味があります。

$\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \left( \boldsymbol{v} u - D\nabla u \right) = f$

ここで、は物質拡散係数で、は速度です。$D$$u$$\boldsymbol{v}$

私の特定のアプリケーションでは、方程式は次の形式で記述できます。

$\frac{\partial u}{\partial t} = \underbrace{D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}_{\textrm{Diffusion}} + \underbrace{\boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}}_{\textrm{Advection (convection)}} + \underbrace{f(x,t)}_{\textrm{Reaction}}$

これが私が適用したクランク・ニコルソン方式です、

$\frac{u_{j}^{n+1} - u_{j}^{n}}{\Delta t} = D \left[ \frac{1 - \beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n} - 2u_{j}^{n} + u_{j+1}^{n} \right) + \frac{\beta}{(\Delta x)^2} \left( u_{j-1}^{n+1} - 2u_{j}^{n+1} + u_{j+1}^{n+1} \right) \right] + \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n} - u_{j-1}^{n} \right) + \frac{\alpha}{2\Delta x} \left( u_{j+1}^{n+1} - u_{j-1}^{n+1} \right) \right] + f(x,t)$

$\alpha$および$\beta$用語に注意してください。これにより、スキームは次の間で移動できます。

• $\beta=\alpha=1/2$ 1/2 Crank-Niscolson、
• $\beta=\alpha=1$完全に暗黙的です
• $\beta=\alpha=0$完全に明示的です

値は異なる場合があります。これにより、拡散項はクランク-ニコルソンになり、移流項は別のものになります。最も安定したアプローチは何ですか、あなたは何をお勧めしますか？

これは適切に構成された質問であり、理解するのに非常に便利です。Korrokは、フォンノイマン分析とLeVequeの本を参照するのが正しいです。それにもう少し追加できます。私は詳細な答えを書きたいのですが、現時点では短いものだけの時間があります：

、あなたは絶対に任意の大きなステップサイズのために安定している方法と同様に、正確な二次を取得します。ただし、この方法はL安定ではないため、非常に高い周波数は減衰せず、物理的ではありません。$\alpha=\beta=1/2$

、あなたも無条件に安定したが、唯一の第一次精度でメソッドを取得します。この方法は非常に散逸的です。これは、あるL -stable。$\alpha=\beta=1$

あなたが取る場合は、あなたの方法が適用されると理解することができる添加剤ルンゲクッタ法を中心に差半離散化します。そのような方法の安定性と精度の分析はかなり複雑です。そのような方法に関する非常に素晴らしい論文がここにあります。$\alpha\ne\beta$

推奨するアプローチは、の大きさ、扱う初期データの種類、および求める精度に大きく依存します。非常に低い精度が許容できる場合、は非常に堅牢なアプローチです。場合中程度または大きい場合、問題は拡散支配と非常に剛性です。通常、 1/2は良い結果をもたらします。が非常に小さい場合は、対流項に明示的な方法と高次の巻き上げを使用すると有利な場合があります。$D$$\alpha=\beta=1$$D$$\alpha=\beta=1/2$$D$

一般的に言えば、放物型方程式（拡散部）には暗黙的な方法を使用する必要があります。放物型PDEの明示的なスキームは、安定させるために非常に短い時間ステップを持っている必要があります。逆に、双曲線部分（移流）については、より安価であり、拡散に暗黙的なスキームを使用して解決する必要がある線形システムの対称性を乱さないため、明示的な方法が必要です。その場合は、あなたのような中心の違いを避けたいおよびスイッチ片側の違い（U J - U J - 1$(u_{j+1}-u_{j-1})/2\Delta t$安定性の理由のために。$(u_j-u_{j-1})/\Delta t$

「フォン・ノイマン安定性解析」については、ランディ・レベックの本またはデール・デュランの本をご覧になることをお勧めします。周期的な境界条件がある場合、離散化スキームの安定性を確認するための一般的なアプローチです。（こちらにも優れたWiki記事があります。）

基本的な考え方は、あなたの離散近似は、平面波の和を書き込むことができると仮定することである、kは波数でありω周波数。平面波をPDEの近似値に詰め込み、爆発しないように祈ります。私たちは、として平面波を書き換えることができξ nは電子iのkはjのΔは、xは、私たちがいることを確認したいです| ξ | ≤ 1。$e^{i(k j\Delta x-\omega n\Delta t)}$$k$$\omega$$\xi^n e^{ikj\Delta x}$$|\xi|\le 1$

実例として、完全に暗黙の差分を持つ通常の拡散方程式を考えます：

$\frac{u^{n+1}_j-u^n_j}{\Delta t} = D\frac{u^{n+1}_{j-1}-2u^{n+1}_j+u^{n+1}_{j+1}}{\Delta x^2}$

我々は平面波に置き換えた場合、その後で除算とE I K j個のΔのX、私たちは方程式を得ます$\xi^n$$e^{ikj\Delta x}$

$\frac{\xi-1}{\Delta t} = D\frac{e^{-ik\Delta x}-2+e^{ik\Delta x}}{\Delta x^2}\xi$

これを少し整理して、以下を取得します。

。$\xi = \frac{1}{1+\frac{2D\Delta t}{\Delta x^2}\left(1-\cos k\Delta x\right)}$

これは常に1未満なので、明確になります。これを移流方程式の明示的な中心スキームに適用してみてください：

$\frac{u_j^{n+1}-u_j^n}{\Delta t} = v\frac{u_{j-1}^n-u_{j+1}^n}{2\Delta x}$

そして、あなたが得るを見てください。（これは、虚部、この時間を持っています。）あなたはそれを見つけることができます| ξ | 2 > 1、これは悲しい時代です。したがって、あなたはそれを使用しないことを私の忠告。それができれば、完全な移流拡散方程式の安定したスキームを見つけるのにそれほど苦労はないはずです。$\xi$$|\xi|^2 > 1$

そうは言っても、拡散部分には完全に暗黙的なスキームを使用します。移流部に差分を変更するもしV > 0とU jの - U J + 1であれば、V < 0となるようにタイムステップを選択V Δ T / Δ X ≤ 1。（これはCourant-Friedrichs-Lewy条件です。）これは1次の精度にすぎないため、懸念がある場合は、より高次の離散化スキームを検索できます。$u_j-u_{j-1}$$v > 0$$u_j-u_{j+1}$$v < 0$$V\Delta t/\Delta x \le 1$