ウェーブレットをPDEに適用するにはどうすればよいですか？

ウェーブレットメソッドをPDEに適用する方法を学びたいのですが、残念ながら、このトピックについて学ぶのに役立つリソースがわかりません。

ウェーブレットの多くの紹介は、補間理論に焦点を当てているようです。たとえば、できれば少数のウェーブレットの重ね合わせによって信号を組み立てます。PDEへの応用については、その主題に深く入ることなく言及されることがあります。私は、WFTを見たことがあるが、そのトピックについてこれ以上知識を持っていない人々のための良い要約記事に興味があります。もちろん、あなたがそれを行うことができると思うなら、良い要約も興味深いでしょう。

私は、どの種類の質問が典型的に現れるかという印象を得ることに特に興味があります。たとえば、リプシッツ境界を持つ有界領域のPDEに有限要素が通常適用されることを知っています。これは、定理空間（適合、不適合、幾何学、組み合わせ）を選択する際の典型的な質問であり、収束理論の確立方法（実際には、Galerkin理論はWaveletでそれほど違わないはずです）、実装では数学的事柄が実行可能であるという直観があります。このようなPDEのウェーブレットに関する鳥瞰的な視点は、私にとって非常に役立ちます。

ウェーブレットには、優れた多重解像度近似プロパティがありますが、PDEの解決には特に人気がありません。最もよく引用される理由は、境界条件を課すことの困難さ、非整列異方性の処理、非線形項の評価、および効率です。

ウェーブレットは、完全に適応可能な方法で強力な収束結果を最初に取得しました（Cohen、Dahmen、およびDeVore 2001および2002を参照）。しかし、この重要な理論に続いてすぐにBinev、Dahmen、およびDeVore（2004）が、適度な次元の従来のPDE問題でより一般的な適応有限要素法で同様の結果を証明しました。ウェーブレット基底は、確率的PDE Schwab and Gittelson（2011）のスパーステンソル法などの高次元の問題で一般的です。およびこの議論の。

微分演算子は、ウェーブレットベースで表現され、Jacobiで事前条件付けされた場合に条件数を制限しました（したがって、Krylovメソッドは、解像度に依存しない一定の反復回数で収束します）。これは、Yserentant（1984）、Bank、Dupont、およびYserentant（1988）などの階層型マルチグリッドメソッドに関連しています。乗法マルチグリッド法は、加算法よりも優れた収束特性を持っていることに注意してください。標準のマルチグリッドVサイクルは、通常の順序でのウェーブレットベースの標準の対称ガウスザイデルと本質的に同等です。これは、特に並列で実装するのに最適な方法ではないことに注意してください。

Calederon-Zygmund演算子と擬似微分演算子は、ウェーブレットベースではスパースです。したがって、多くの問題$\mathcal H$-行列は、ウェーブレットベースを使用してエレガントに扱うことができるコンパクトなベースで役立ちます。

微分演算子は、ウェーブレットベースで評価するのに比較的高価であり、望ましい保存特性を確立することは困難です。一部の著者（Vasilyev、Paolucci、Sen 1995など）は、コロケーション手法に頼り、差分ステンシルを使用して導関数と非線形項を評価します。ウェーブレット展開がブロックされている場合（通常は計算効率に優れています）、これらの方法はブロック構造のAMRに非常に似ています。

Beylkin and Keizer（1997）は、ウェーブレットでPDEを解くための実用的な入門書としてお勧めします。MADNESSのコードは、これらの方法に基づいています。没入境界をサポートしています（Reuter、Hill、およびHarrison 2011を参照）が、複雑なジオメトリで境界層を表す効率的な方法はありません。このソフトウェアは、ジオメトリが問題にならない化学の問題によく使用されます。

ウェーブレットの一般的な数値解析については、コーエンの2003年の本をお勧めします。それは、与えられた精度まで評価したいまで連続体ソリューションを操作する分析フレームワークを提示し、その時点でウェーブレット基底が必要に応じて評価されます。