タグ付けされた質問 「convergence」

反復法によって生成された反復のシーケンスに1つ以上の限界点があるかどうか、およびそれらの限界点に正しいプロパティがあるかどうかに関する質問。

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線形連立方程式を解くためのクリロフ部分空間法の収束の背後にある原理は何ですか？
私が理解しているように、線形連立方程式を解くための反復法には2つの主要なカテゴリがあります。 定常法（Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、Multigrid） クリロフ部分空間法（共役勾配法、GMRESなど） ほとんどの定常手法は、エラーのフーリエモードを繰り返し緩和（平滑化）することで機能することを理解しています。私が理解しているように、共役勾配法（クリロフ部分空間法）は、番目の残差に適用される行列のべきから最適な探索方向のセットを「ステップ実行」することによって機能します。この原理は、すべてのクリロフ部分空間法に共通ですか？そうでない場合、クリロフ部分空間法の収束の背後にある原則を一般的にどのように特徴付けますか？nnn
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PDEの数値解が連続解に収束しているかどうかを判断する方法は？
ラックスの等価定理は、直線状の初期値問題の数値スキームの一貫性と安定性が収束するための必要十分条件である状態。しかし、非線形問題の場合、一貫性があり安定しているにもかかわらず、数値的手法は誤った結果に非常に合理的に収束する可能性があります。たとえば、このホワイトペーパーでは、1次元線形化浅水方程式に適用された1次ゴドノフ法が、不正解にどのように収束するかを示しています。 メッシュと時間ステップの洗練の下で明らかに自己収束は十分ではありませんが、正確な解は一般に非線形PDEには利用できません。
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FFTポアソンソルバーの収束率
FFTポイズンソルバーの理論上の収束率は？ Iは、ポアソン方程式を解く午前： と N （X 、Y 、Z ）= 3∇2VH（x 、y、z）= - 4 πn （x 、y、z）∇2VH（バツ、y、z）=−4πn（バツ、y、z）\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z) ドメインに[0、2]×[0、2]×[0、2]、周期的境界条件を有します。この電荷密度は正味中立です。溶液は、で与えられる： VH（X）=∫N（n （x 、y、z）= 3π（（x − 1 ）2+ （y− 1 ）2+ （z− 1 ）2− 1 ）n（バツ、y、z）=3π（（バツ−1）2+（y−1）2+（z−1）2−1）n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)[ …
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固定小数点問題の非単調収束
バックグラウンド 私は、液体理論からOrnstein-Zernike方程式の変形を解いています。抽象的に、問題は不動点問題を解くと表現できます。ここで、Aは積分代数演算子であり、c （r ）は解関数（OZ直接相関関数）です。私は初期の試行解c 0（r ）を提供し、スキーム c j + 1 = α （A c （r ）= c （r ）Ac（r）=c（r）A c(r)=c(r)AAAc （r ）c（r）c(r)c0（r ）c0（r）c_0(r)αは調整可能なパラメータの制御ミックスつまり Cと Cの次の試験溶液中に使用しました。この議論のために、 αの値は重要ではないと仮定しましょう。私が希望する許容誤差内に反復が収束するまで繰り返し ε： ΔのJ + 1 ≡ ∫ D → R | c j + 1（r ）− ccj + 1= α （A cj）+ （1 - α …
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わずかに振動するシリーズを高精度に計算しますか？
私は、次の興味深い機能を有していると仮定： 微分がπの有理倍数で連続していないなど、不快な特性があります。閉じたフォームが存在しないと思われます。f(x)=∑k≥1coskxk2(2−coskx).f(x)=∑k≥1cos⁡kxk2(2−cos⁡kx). f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}. ππ\pi 部分和の計算とリチャードソンの外挿を使用して計算できますが、問題は、十分な数の小数桁（たとえば、100が望ましい）に関数を計算するには遅すぎることです。 この機能をよりうまく処理できる方法はありますか？ ここでのプロットだいくつかの成果物と：f′(πx)f′(πx)f'(\pi x)
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反復法の「収束率」を理解する
ウィキペディアによると、収束率はベクトルノルムの特定の比率として表されます。さまざまな時点（基本的に、反復の「開始時」と「終了時」）での「線形」レートと「2次」レートの違いを理解しようとしています。次のように言えますか？ 線形収束の場合、反復の誤差ek+1ek+1e_{k+1}のノルムは区切られますxk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥‖ek‖\|e_k\| 二次収束では、反復の誤差のノルムは区切られますek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 このような解釈は、線形収束アルゴリズムA1の少数（少数）の反復（ランダム初期化を想定）で、2次収束アルゴリズムA2の反復でより小さなエラーが達成されることを意味します。ただし、エラーは減少し、2乗するため、後で繰り返すと、A2のエラーが小さくなります。 上記の解釈は有効ですか？レート係数は無視されることに注意してください。λλ\lambda
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解のヤコビアンが特異な場合のニュートン法の戦略
変数およびx 2（他のすべては定数です）について次の連立方程式を解こうとしています。P、x1P、バツ1P,x_1バツ2バツ2x_2 A （1 − P）2− k1バツ1= 0A P2− k2バツ2= 0（1 − P）（r1+ x1）4L1− P（r1+ x2）4L2= 0A（1−P）2−k1バツ1=0AP2−k2バツ2=0（1−P）（r1+バツ1）4L1−P（r1+バツ2）4L2=0\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0 x 1とx 2の方程式1と2をそれぞれ解き、方程式3に代入することにより、この連立方程式を単一変数単一方程式に変えることができることがわかります。 matlabのコマンドを使用して解決策を見つけます。パラメーターk 1 = k 2 = 1、r 1 = r 2 = 0.2、およびA = 2を使用すると、真の解はP = x 1 = xであることがわかりました。（P）（P）(P)バツ1バツ1x_1バツ2バツ2x_2fzerok1= k2= 1k1=k2=1k_1=k_2=1r1= r2= 0.2r1=r2=0.2r_1=r_2=0.2A = 2A=2A=2。P= …
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大規模線形システムの反復法が実際に収束的であることを確立する方法は？
計算科学では、直接法または反復法などのいくつかの（効率的な）手段で解く必要のある大きな線形システムに遭遇することがよくあります。後者に注目した場合、大規模な線形システムを解くための反復法が実際に収束的であることをどのように確立できますか？ 試行錯誤分析（cf. なぜ私の反復線形ソルバーが収束しないのか？）を行い、証明による収束を保証するか、音響経験ベース（例えば、CGやGMRESなどのKrylov部分空間法）を持つ反復法に依存できることは明らかです。それぞれ対称および非対称システムの場合）。 しかし、実際に収束を確立するために何ができるでしょうか？そして何が行われますか？
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より高いレイノルズ数のためにCFDソルバーを再実行する必要があるのはなぜですか？
私はウェブサイトで提供されているCavityチュートリアルからOpenFOAMを学び始めました。「2.1.8.2コードの実行」のセクションでさまざまなレイノルズ数を試してみると、「解の時間を増やすことは理にかなっている」ため、チュートリアルではソルバーを再実行するように言われています。しかし、これを行ったとき、クーラント数が低い（0.2）と高い（0.6）のキャビティ内の流れの間に、なんらかの違いを見つけることができませんでした。 シミュレーションを再実行する必要があるかどうかはどうすればわかりますか？
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正の半定行列に対して収束する反復線形ソルバーはどれですか？
私はこの問題のために収束することが保証されている古典的な線形ソルバー（例えば、ガウス・ザイデル、ヤコビ、SOR）のどちらかを知りたいAが正である半明確な、そしてもちろんのB ∈ I M （A ）A x=bAx=bAx=bああAB ∈ I M （A）b∈私メートル（あ）b \in im(A) （通知は半確定であり、確定ではありません）ああA
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Hartree-Fock方程式を繰り返し解くと収束するのはなぜですか？
時間に依存しない電子シュレディンガー方程式を解くハートリーフォック自己無撞着場法では、スピンの選択に関して外部場の電子系の基底状態エネルギーを最小化しようとします軌道、。 { χ I }E0E0E_{0}{ χ私}{χ私}\{\chi_{i}\} これを行うには、1電子ハートリーフォック方程式 ここで、は電子スピン/空間座標、は軌道固有値、はFock演算子（1電子演算子） 、 （ここでは総和が核に渡っており、は核Aの核電荷であり、は電子と原子核間の距離）。XIIε F I fは iが=-1f^私χ （x私）= ε χ （X私）f^私χ（バツ私）=εχ（バツ私）\hat{f}_{i}\chi(\mathbf{x}_{i})=\varepsilon\chi(\mathbf{x}_{i})バツ私バツ私\mathbf{x}_{i}私私iεε\varepsilonf^私f^私\hat{f}_{i} ZAriAiAV H F if^私= − 12∇2私− ∑A = 1MZあr私+ VH F私f^私=−12∇私2−Σあ=1MZあr私あ+V私HF\hat{f}_{i} = -\frac{1}{2}\nabla^{2}_{i}-\sum_{A=1}^{M}\frac{Z_{A}}{r_{iA}}+V^{\mathrm{HF}}_{i}ZあZあZ_{A}r私r私あr_{iA}私私iああAVH F私V私HFV^{\mathrm{HF}}_{i}は、システム内の他のすべての電子によって電子感じる平均電位です。以来、スピン軌道に依存している、他の電子の、我々はフォックオペレータはそれの固有関数に依存していると言うことができます。A. SzaboとN. Ostlundによる「Modern Quantum Chemistry」、54ページ（初版）には、「Hartree-Fock方程式（2.52）は非線形であり、反復的に解かなければならない」と書かれています。私は私の研究の一部としてこの反復解の詳細を研究しましたが、この質問については、メソッドの基本構造を述べることを除いて、それらは重要ではないと思います：V H F I χ jを私私iVH F私V私HFV_{i}^{\mathrm{HF}}χjχj\chi_{j} スピン軌道初期推定を行い、を計算します。V H F I{ χ私}{χ私}\{\chi_{i}\}VH F私V私HFV_{i}^{\mathrm{HF}} これらのスピン軌道について上記の固有値方程式を解き、新しいスピン軌道を取得します。 自己矛盾のない状態になるまで、新しいスピン軌道でこのプロセスを繰り返します。 …
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右側がのみの場合の有限要素法の収束（ポアソン方程式）
私が知っている、区分的線形有限要素近似の 満たす は、Uが十分滑らかでf ^ in L ^ 2（U）である場合に限ります。uhuhu_hΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) 質問：もしf∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)、我々は1つの誘導体が両側に奪われている以下の類似の推定値を、持っています： ∥u−uh∥L2(U)≤Ch∥f∥H−1(U)?‖u−uh‖L2(U)≤Ch‖f‖H−1(U)? \|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad? 参照を提供できますか？ 考え：私たちはまだu \ in H ^ 1_0（U）を持っているのでu∈H10(U)u∈H01(U)u\in H^1_0(U)、L ^ 2（U）で収束を得ることができるはずL2(U)L2(U)L^2(U)です。直感的には、これは区分定数関数でも可能です。
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数値的に弱い収束はどのように感じますか？
無限次元のヒルベルト空間またはバナッハ空間に問題があり（PDEまたはそのような空間における最適化の問題だと考えて）、解に弱く収束するアルゴリズムがあるとします。問題を離散化し、対応する離散化アルゴリズムを問題に適用する場合、弱い収束はすべての座標での収束であり、したがって強い収束でもあります。私の質問は： この種類の強い収束は、元の無限アルゴリズムの古き良き単純な強い収束から得られた収束とは異なると感じますか？ または、より具体的に： 「離散化された弱収束法」では、どのような悪い動作が発生する可能性がありますか？ 私自身は通常、弱い収束しか証明できないときはあまり満足していませんが、これまでは、問題を離散化した問題をより高い次元にスケーリングしても、メソッドの結果に関する問題を観察できませんでした。 「最初の離散化より最適化」の問題と「最初の最適化より離散化」の問題には興味がなく、問題とすべてのプロパティを共有しない離散化問題にアルゴリズムを適用した場合に発生する可能性のある問題を認識しています。アルゴリズムの設計対象。 更新：具体的な例として、変数の最適化問題を検討し、それを（慣性）前方後方分割のようなもの、または弱い収束のみが知られている他の方法で解決します。離散化された問題では、同じ方法を使用できます。アルゴリズムを直接離散化した場合は、正しい離散化で同じアルゴリズムが得られます。離散化の精度を上げると、何が問題になるのでしょうか？L2L2L^2L2L2L^2
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FEMエラープロットは常に直線であると想定する必要がありますか？
FEMのエラー推定は、通常、次の形式です。 | | あなたh− u | | ≤ Ch 。||uh−u||≤Ch.||u^h-u||\leq Ch. 両側で対数を取ると、 ログ| | あなたh− u | | ≤ ログC+ ログh 。log⁡||uh−u||≤log⁡C+log⁡h.\log ||u^h-u||\leq \log C + \log h. この推定は、エラーが対数対数スケールでによって与えられる直線より下にあることを意味します。この推定では、に関する誤差のプロットが直線である必要はなく、直線より下にある必要があります。ログy= ログC+ ログhlog⁡y=log⁡C+log⁡h\log y=\log C + \log hhhh では、なぜジャーナルで公開されているほとんどのエラープロットがエラーの非常に鋭い直線を示しているのでしょうか。私は科学計算の初心者なので、この質問に対するいくつかの洞察に感謝します。 特に、FEniCSで実行した一部の計算では、直線ではないエラープロットが表示されましたが、グラフは直線の下にあります。特定の線形ソルバーはそのような動作に影響しますか？私はおたふく線形のソルバーを使用しています。 編集：下の図の理論的な結果は、エラー（y軸にプロット）がとして減衰し、がx軸にプロットされていることを示しています。2番目の図は、対数対数スケールです。1 / R1/R1/RRRR
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