FEMエラープロットは常に直線であると想定する必要がありますか？

FEMのエラー推定は、通常、次の形式です。

両側で対数を取ると、

この推定は、エラーが対数対数スケールでによって与えられる直線より下にあることを意味します。この推定では、に関する誤差のプロットが直線である必要はなく、直線より下にある必要があります。$\log y=\log C + \log h$$h$

では、なぜジャーナルで公開されているほとんどのエラープロットがエラーの非常に鋭い直線を示しているのでしょうか。私は科学計算の初心者なので、この質問に対するいくつかの洞察に感謝します。

特に、FEniCSで実行した一部の計算では、直線ではないエラープロットが表示されましたが、グラフは直線の下にあります。特定の線形ソルバーはそのような動作に影響しますか？私はおたふく線形のソルバーを使用しています。

編集：下の図の理論的な結果は、エラー（y軸にプロット）がとして減衰し、がx軸にプロットされていることを示しています。2番目の図は、対数対数スケールです。$1/R$$R$

十分な詳細情報が提供されなかったため、特定のケースについてコメントすることはできませんが、これらの収束グラフを可能な限り見栄えよくするために私の人生の数年を費やしてきたため、問題についていくつかのガイダンスを提供できます。私は楕円と鞍点の問題のみを扱ってきました。おそらく、このガイダンスは放物線と双曲線の問題にはまったく当てはまりません。

コメントからすでに1つはっきりしているはずです。エラーの上限がある場合、グラフが常に直線のように見える理由はまったくありません。

認識すべきもう1つのことは、そのようなエラー推定は通常、境界と読み込みデータがソボレフ空間の要素として指定されている問題の一般的なセットによって満たされることです。したがって、実際には、さまざまな荷重、境界条件など、同じ推定を満たす多くの問題があります。通常、定数は異なります。一連のメッシュで数値的に解くと、グラフは線形に見えるために、一部の問題だけが（推定値で定義されているように）漸近限界に十分近くなります。

$h$$h \rightarrow 0$

漸近前の範囲を人工的に可能な限り小さくし、主に漸近限界に留まる問題を見つけることは、科学というより芸術です。ここにいくつかのヒントがあります：

• $\sin(x)$$h << \pi$
• 勉強したいもの以外に特異点がないことを確認してください。
• $L^2$
• メッシュのシーケンスがネストされていることを確認してください。これにより、グラフの単調性が向上することがよくあります。次のメッシュは常に前のメッシュよりも優れているはずです。
• エラーを評価するときは、十分に高い統合ルールを使用してください。私はこの間違いを何度もしましたが、問題がどこにあるのかを理解するのにしばらく時間がかかりました。
• 要素の境界を越えて不連続なデータがある場合は、要素の境界にある統合ポイントを使用しないでください。私も一度この間違いを犯したことがあり、デバッグに時間がかかりました。

一般に、新しく推定された有限要素コードが正しく機能していることを確認する場合、エラー推定はより有用であり、線形収束グラフを取得するのに十分なデータと境界条件が必ずしも十分ではない、適用された問題にはあまり有用ではないと思います。

目の前の問題の詳細を提供していただければ、より具体的なヒントを提供できると思います。しかし、私はこれらのヒントが問題を見つけることから始めると思います。