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私の知る限り、線形方程式系を解くには4つの方法があります（さらにある場合は修正してください）： システム行列がフルランク正方行列の場合、Cramerの規則を使用できます。 システム行列の逆または擬似逆を計算します。 マトリックス分解法を使用します（ガウスまたはガウスヨルダン消去法はLU分解と見なされます）。 共役勾配法などの反復法を使用します。 実際、特に高次元行列の場合、Cramerのルールを使用するか、逆行列または擬似逆行列を計算して方程式を解くことはほとんどありません。したがって、最初の質問は、それぞれ分解法と反復法を使用する場合です。システムマトリックスのサイズとプロパティに依存すると思います。 2番目の質問は、数値の安定性と効率の観点から、特定のシステムマトリックスに最適な分解法または反復法の種類を知っていることです。 たとえば、共役勾配法は、行列が対称かつ正定値の方程式を解くために使用されますが、をA T A x = A T bに変換することにより、任意の線形方程式に適用することもできます。正定行列の場合も、コレスキー分解法を使用して解を求めることができます。しかし、CGメソッドを選択するタイミングと、コレスキー分解を選択するタイミングはわかりません。私の感覚では、大きな行列にはCG法を使用した方が良いと思います。A x = bAバツ=b\mathbf{A}x=bATA x= ATbATAバツ=ATb\mathbf{A}^{\rm T}\mathbf{A}x=\mathbf{A}^{\rm T}b 長方形行列の場合、QR分解またはSVDのいずれかを使用できますが、ここでもいずれかを選択する方法がわかりません。 他のマトリックスについては、エルミート/対称マトリックス、スパースマトリックス、バンドマトリックスなど、適切なソルバーを選択する方法は今ではありません。

31 linear-algebra  linear-solver  iterative-method 

KSP（PETScの線形ソルバーパッケージ）から事前に条件付けされたKrylovメソッドを使用して、偏微分方程式の離散化と線形化によって得られるようなスパース線形システムを解くと、何が問題になる可能性がありますか？ 私の問題で何が問題になっているのかを判断するには、どのような手順を踏めばよいですか？ 線形システムを正常かつ効率的に解決するために、どのような変更を加えることができますか？

26 linear-algebra  petsc  preconditioning  krylov-method  iterative-method 

大型線形システムの解の反復法を使用して、それが前処理導入することがしばしば重要である、例えば、代わりに解決、ここで左前処理システムのために使用され。通常、必要であり、元のシステムのソリューションと比較して（はるかに）効率的なソリューションまたは計算リソース（メモリストレージなど）の削減の基礎を提供する必要があります（すなわち、場合）。ただし、前提条件を選択するには、どのガイドラインを使用する必要がありますか？特定の問題に対して、実務家はどのようにこれを行いますか？Ax=bAx=bAx=bM−1(Ax=b)M−1(Ax=b)M^{-1}(Ax=b)MMMM−1≈A−1M−1≈A−1M^{-1}\approx A^{-1}M=AM=AM=A

19 linear-algebra  iterative-method  preconditioning 

私は数値分析調査クラスを教えており、最適化の背景/直感が限られている学生のためのBFGS法の動機付けを求めています！ JのK（→ X K - → Xのk - 1）= F （→ X K）- F （→ Xのk - 1）∥ Jk− Jk − 1∥2あちこち‖Jk−Jk−1‖あちこち2\|J_k-J_{k-1}\|^2_{\textrm{Fro}}Jk（x⃗ k− x⃗ k − 1）= f（x⃗ k）− f（x⃗ k − 1）Jk（バツ→k−バツ→k−1）=f（バツ→k）−f（バツ→k−1）J_k(\vec x_k-\vec x_{k-1})=f(\vec x_k)-f(\vec x_{k-1}) BFGSアップデートの派生は、はるかに複雑で曖昧なようです！特に、更新がランク2であるか、特定の形式をとるべきであるとアプリオリに仮定したくない。BroydenのようなBFGS Hessianの更新には、変則的に見える短い動機がありますか？

15 optimization  iterative-method  nonlinear-programming 

多項式前提条件に何が起こったのだろうか。それらは数学的な観点からは比較的エレガントに見えるので興味がありますが、クリロフ法の調査で読んだ限り、それらは一般に前提条件として非常に貧弱です。Saadとvan der Hostの言葉で、「これらの技術に対する現在の関心は、ほとんど消え去りました」（ここ）。それにもかかわらず、最近ではマルチコアおよびGPU計算の使用が行われています。 誰も私に言うことができますか、むしろこれらの方法がどのコンテキストで生きているのか、そして現在の最先端の良い調査をどこで見つけることができますか？

15 iterative-method  preconditioning  krylov-method 

私の知る限り、マルチグリッドソルバーは、Jacobi、Gauss-Seidel、SORなどの反復スムーザーを使用して、さまざまな周波数でエラーを減衰させます。代わりに、クリロフ部分空間法（共役勾配、GMRESなど）を利用できますか？私はそれらが「スムーズナー」として分類されるとは思わないが、それらは粗いグリッド解を近似するために使用できる。標準的なマルチグリッド法の場合と同様に、ソリューションへの類似した収束を期待できますか？それとも問題に依存していますか？

15 linear-algebra  multigrid  iterative-method  krylov-method 

バックグラウンド 私は、液体理論からOrnstein-Zernike方程式の変形を解いています。抽象的に、問題は不動点問題を解くと表現できます。ここで、Aは積分代数演算子であり、c （r ）は解関数（OZ直接相関関数）です。私は初期の試行解c 0（r ）を提供し、スキーム c j + 1 = α （A c （r ）= c （r ）Ac（r）=c（r）A c(r)=c(r)AAAc （r ）c（r）c(r)c0（r ）c0（r）c_0(r)αは調整可能なパラメータの制御ミックスつまり Cと Cの次の試験溶液中に使用しました。この議論のために、 αの値は重要ではないと仮定しましょう。私が希望する許容誤差内に反復が収束するまで繰り返し ε： ΔのJ + 1 ≡ ∫ D → R | c j + 1（r ）− ccj + 1= α （A cj）+ （1 - α …

13 iterative-method  convergence 

ウィキペディアによると、収束率はベクトルノルムの特定の比率として表されます。さまざまな時点（基本的に、反復の「開始時」と「終了時」）での「線形」レートと「2次」レートの違いを理解しようとしています。次のように言えますか？ 線形収束の場合、反復の誤差ek+1ek+1e_{k+1}のノルムは区切られますxk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥‖ek‖\|e_k\| 二次収束では、反復の誤差のノルムは区切られますek+1ek+1e_{k+1}xk+1xk+1x_{k+1}∥ek∥2‖ek‖2\|e_k\|^2 このような解釈は、線形収束アルゴリズムA1の少数（少数）の反復（ランダム初期化を想定）で、2次収束アルゴリズムA2の反復でより小さなエラーが達成されることを意味します。ただし、エラーは減少し、2乗するため、後で繰り返すと、A2のエラーが小さくなります。 上記の解釈は有効ですか？レート係数は無視されることに注意してください。λλ\lambda

13 iterative-method  convergence 

境界値の問題があると仮定します。 DUd2あなたはdバツ2+ dvdバツ= f で Ωd2あなたはdバツ2+dvdバツ=f に Ω\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega uが=時間 に ∂Ωdあなたはdバツ+ d2vdバツ2= g に Ωdあなたはdバツ+d2vdバツ2=g に Ω\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega Uは= 時間 に ∂Ωあなたは=h に ∂Ωu=h \text{ in } \partial\Omega 私の目標は、この結合問題の解を非結合PDEのシーケンスに分解することです。システムを分離するために、私は、固定された近似値のシーケンス上の点繰り返し印加だ、その結果を（あなたk、vk）（あなたはk、vk）(u^k,v^k) du k − 1d2あなたはkdバツ2+ dvk − 1dバツ= fd2あなたはkdバツ2+dvk−1dバツ=f\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f …

12 pde  iterative-method 

仮定A∈Rn×nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}の対称正定値行列です。 AAAは十分大きいため、Ax=bAx=bAx=b直接解くのは高価です。 最小固有値見つけるための反復アルゴリズムがあるAAA反転関与しないAAA各反復では？ つまり、共役勾配のような反復アルゴリズムを使用してを解かなければならないため、A - 1をAx=bAx=bAx=b繰り返し適用することは高価な「内部ループ」のように思えます。必要なのは単一の固有ベクトルだけです。A−1A−1A^{-1} ありがとう！

11 linear-algebra  eigensystem  eigenvalues  iterative-method 

ハードウェアとソフトウェアの構成が異なる2台のコンピューターを検討してください。各プラットフォームでまったく同じシリアルNavier-Stokesコードを実行する場合、コンピューター1と2に対してそれぞれ1回の反復を実行するのにx時間とy時間かかります。この場合、は、コンピューター1とコンピューター2の間の反復時間の差です。Δ = x − yΔ=x−y\Delta = x-y の大きさに影響を与えるものは何ですか？明らかな候補の1つはCPUです。私の主な質問は、CPU間のハードウェアの違いと同じ順序でΔに影響を与える可能性のある他の要因があるかどうかです。△Δ\Delta△Δ\Delta

11 performance  iterative-method  navier-stokes 

システム所与A ∈ R 、N × Nが場合ヤコビ反復がソルバとして使用する場合には、私は、それを読んで、この方法は、収束しないであろうbはのヌル空間内の非ゼロ成分有し、Aが。それでは、Aのヌル空間にまたがるゼロ以外の成分がbにある場合、Jacobiメソッドは非収束であると正式に述べることができますか？ヌル空間に直交する解の一部は収束するため、数学的にどのように形式化できるのでしょうか。A x = b 、Ax=b,Ax=b,A ∈ Rn × nA∈Rn×nA\in\mathbb{R}^{n\times n}bbbAAAbbbAAA したがって、各反復からヌル空間を射影することにより、収束（または？）します。AAA ......... Iは、特にの場合に興味Lが零空間対称ラプラシアン行列は、ベクトルによって張られる1 N = [ 1 ... 1 ] T ∈ R N、および有するゼロ成分中ののヌル空間、ここではセンタリング行列です。それは、各ヤコビ反復がヌル空間を投影することを意味しますか、つまり、各反復は中央に配置されますLx=b,Lx=b,Lx=b,LLL1n=[1…1]T∈Rn1n=[1…1]T∈Rn1_n=[1\dots 1]^T\in\mathbb{R}^nL J b = b 、J = I − 1bbbLLLJb=b,Jb=b,Jb=b, LJ=I−1n1n1TnJ=I−1n1n1nTJ=I-\frac{1}{n}1_n1_n^TLLL？私はこれを求めているので、Jacobiの反復からヌル空間を投影する必要はないでしょう（言い換えれば、反復を中央に配置するために）。LLL

11 linear-algebra  optimization  matrix  iterative-method  linear-solver 

計算科学では、直接法または反復法などのいくつかの（効率的な）手段で解く必要のある大きな線形システムに遭遇することがよくあります。後者に注目した場合、大規模な線形システムを解くための反復法が実際に収束的であることをどのように確立できますか？ 試行錯誤分析（cf. なぜ私の反復線形ソルバーが収束しないのか？）を行い、証明による収束を保証するか、音響経験ベース（例えば、CGやGMRESなどのKrylov部分空間法）を持つ反復法に依存できることは明らかです。それぞれ対称および非対称システムの場合）。 しかし、実際に収束を確立するために何ができるでしょうか？そして何が行われますか？

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

私はこの問題のために収束することが保証されている古典的な線形ソルバー（例えば、ガウス・ザイデル、ヤコビ、SOR）のどちらかを知りたいAが正である半明確な、そしてもちろんのB ∈ I M （A ）A x=bAx=bAx=bああAB ∈ I M （A）b∈私メートル（あ）b \in im(A) （通知は半確定であり、確定ではありません）ああA

10 linear-algebra  iterative-method  convergence  linear-solver 

私はそれを理解したように、連続オーバー緩和がAのパラメータを選択することによって動作しますと（準）ガウス・ザイデル反復と前のタイムステップでの値の線形結合を使用して...であることを 0≤ω≤20≤ω≤20\leq\omega\leq2 uk+1=(ω)ugsk+1+(1−ω)ukuk+1=(ω)ugsk+1+(1−ω)uk{u}^{k+1} = (\omega){u_{gs}}^{k+1} + (1-\omega)u^{k} ugsk+1ugsk+1{u_{gs}}^{k+1}は、任意のタイムステップでこのルールに従って更新された最新の情報が含まれているため、「準」と述べています。（ω=1ω=1\omega=1場合、これはまさにgauss-seidelです）。 いずれにせよ、空間分解能がゼロに近づくにつれて、ポアソン問題の2に近づく（反復が他よりも速く収束する）最適な選択でそれを読みましたωω\omega。同様の傾向が他の対称的で対角線的に支配的な問題に存在しますか？つまり、適応最適化スキームに埋め込むことなく最適にオメガを選択する方法はありますか？他の種類の問題に対する他のヒューリスティックはありますか？緩和不足（ω&lt;1ω&lt;1\omega<1）はどのような問題に最適ですか？

10 linear-algebra  optimization  iterative-method