逐次過緩和（SOR）メソッドを最適化するためのヒューリスティックはありますか？

私はそれを理解したように、連続オーバー緩和がAのパラメータを選択することによって動作しますと（準）ガウス・ザイデル反復と前のタイムステップでの値の線形結合を使用して...であることを $0\leq\omega\leq2$

${u}^{k+1} = (\omega){u_{gs}}^{k+1} + (1-\omega)u^{k}$

${u_{gs}}^{k+1}$は、任意のタイムステップでこのルールに従って更新された最新の情報が含まれているため、「準」と述べています。（$\omega=1$場合、これはまさにgauss-seidelです）。

いずれにせよ、空間分解能がゼロに近づくにつれて、ポアソン問題の2に近づく（反復が他よりも速く収束する）最適な選択でそれを読みました$\omega$。同様の傾向が他の対称的で対角線的に支配的な問題に存在しますか？つまり、適応最適化スキームに埋め込むことなく最適にオメガを選択する方法はありますか？他の種類の問題に対する他のヒューリスティックはありますか？緩和不足（$\omega<1$）はどのような問題に最適ですか？

減衰したヤコビ

$A$$D$$D^{-1}A$$[a,b]$$\omega$

$$B_\text{Jacobi} = I - \omega D^{-1} A$$ $[1 - \omega b,1 - \omega a]$ $$\omega_{\text{opt}} = \frac 2 {a + b}$$ $$\rho_\text{opt} = 1 - \frac{2a}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}.$$ $a \ll b$$b$$a$

連続的な過剰緩和（SOR）

$D^{-1}A$$\mu_\max$$I - D^{-1} A$$\mu_\max < 1$

$$\omega_\text{opt} = 1 + \left( \frac{\mu_\max}{1 + \sqrt{1 - \mu_\max^2}} \right)^2$$ $$\rho_\text{opt} = \omega_\text{opt} - 1.$$ $\omega_\text{opt}$場合、2に近づきます。$\mu_\max \to 1$

コメント

1950年ではなくなり、ソルバーとして定常反復法を使用することは実際には意味がありません。代わりに、マルチグリッドのスムーザーとして使用します。このコンテキストでは、スペクトルの上限をターゲットにすることのみを考慮します。SORの緩和係数を最適化すると、SORは高周波数の減衰をほとんど生じさせないため（低周波数での収束が改善される代わりに）、通常、SORのに対応する標準のGauss-Seidelを使用する方が適切です。非対称問題および非常に可変的な係数の問題では、緩和不足のSOR（）の方が減衰特性が優れている場合があります。$\omega = 1$$\omega <1$

両方の固有値の推定はコストがかかりますが、最大の固有値は、数回のクリロフ反復を使用してすばやく推定できます。多項式スムーザー（Jacobiで前処理済み）は、減衰Jacobiの複数の反復よりも効果的であり、構成が容易であるため、推奨されます。多項式平滑化の詳細については、この回答を参照してください。$D^{-1}A$

GMRESなどのクリロフ法の前提条件としてSORを使用しないでください。これは、最適な緩和パラメーターが反復行列すべての固有値を円上に配置する必要があるという観察に基づいています原点を中心に。前処理された演算子のスペクトル

$$B_\text{SOR} = 1 - \left(\frac 1 \omega D + L\right)^{-1} A$$ $(\frac 1 \omega D + L)^{-1} A$同じ半径の円に固有値がありますが、1を中心とします。条件の悪い演算子の場合、円の半径は1に非常に近いため、GMRESは角度の範囲で原点に近い固有値を表示します。収束のため。実際には、GMRESはSORで事前に調整された場合、特にすでに十分に調整された問題の場合、合理的に収束する可能性がありますが、他の事前調整がより効果的であることがよくあります。