多項式前提条件の現在の状態は何ですか？

多項式前提条件に何が起こったのだろうか。それらは数学的な観点からは比較的エレガントに見えるので興味がありますが、クリロフ法の調査で読んだ限り、それらは一般に前提条件として非常に貧弱です。Saadとvan der Hostの言葉で、「これらの技術に対する現在の関心は、ほとんど消え去りました」（ここ）。それにもかかわらず、最近ではマルチコアおよびGPU計算の使用が行われています。

誰も私に言うことができますか、むしろこれらの方法がどのコンテキストで生きているのか、そして現在の最先端の良い調査をどこで見つけることができますか？

合理的に実行するには、多項式前処理にかなり正確なスペクトル推定が必要です。悪条件の楕円問題の場合、通常、チェビシェフのような方法が最適とはほど遠いように、最小の固有値が分離されます。多項式法の最も興味深い特性は、内積を必要としないことです。

実際、マルチグリッドで多項式スムーザーを使用することは非常に人気があります。前提条件との主な違いは、スムーザーはスペクトルの一部のみを対象とすることです。たとえば、現在、PETScのマルチグリッドでは多項式スムーザーがデフォルトです。比較については、Adams et al、Parallel multigrid smoother：Polynomial vs Gauss-Seidel（2003）も参照してください。

多項式前提条件は、純粋に削減の頻度を減らすために使用できます。マトリックスごとに再調整する必要がありますが、削減は高価なハードウェア（大きなスーパーコンピューターで一般的）で大幅に節約できます。詳細については、McInnes、Smith、Zhang、Mills、Hierarchical and Nested Krylov Methods for Extreme-Scale Computing（2012）を参照してください。