タグ付けされた質問 「krylov-method」

KSP（PETScの線形ソルバーパッケージ）から事前に条件付けされたKrylovメソッドを使用して、偏微分方程式の離散化と線形化によって得られるようなスパース線形システムを解くと、何が問題になる可能性がありますか？ 私の問題で何が問題になっているのかを判断するには、どのような手順を踏めばよいですか？ 線形システムを正常かつ効率的に解決するために、どのような変更を加えることができますか？

26 linear-algebra  petsc  preconditioning  krylov-method  iterative-method 

私が理解しているように、線形連立方程式を解くための反復法には2つの主要なカテゴリがあります。 定常法（Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、Multigrid） クリロフ部分空間法（共役勾配法、GMRESなど） ほとんどの定常手法は、エラーのフーリエモードを繰り返し緩和（平滑化）することで機能することを理解しています。私が理解しているように、共役勾配法（クリロフ部分空間法）は、番目の残差に適用される行列のべきから最適な探索方向のセットを「ステップ実行」することによって機能します。この原理は、すべてのクリロフ部分空間法に共通ですか？そうでない場合、クリロフ部分空間法の収束の背後にある原則を一般的にどのように特徴付けますか？nnn

24 linear-algebra  convergence  krylov-method  conjugate-gradient 

行列とます。はスパースで、で非常に大きい（数百万程度）は高さの行列で、はかなり小さく（）、各列はように、残りがである単一のエントリのみがあります。は巨大なので、反転するのは本当に、などのクリロフ部分空間法を使用して、などの線形システムを繰り返し解くことができますが、AAAGGGAAAn×nn×nn\times nnnnGGGn×mn×mn\times mmmm1<m<10001<m<10001 \lt m \lt 1000111000GTG=IGTG=IG^TG = IAAAAx=bAx=bAx = bBiCGStab(l)BiCGStab(l)\mathrm{BiCGStab}(l)A−1A−1A^{-1} explicitly. I want to solve a system of the form: (GTA−1G)x=b(GTA−1G)x=b(G^TA^{-1}G)x = b, where xxx and bbb are mmm length vectors. One way to do it is to use an iterative algorithm within an iterative algorithm to solve for …

22 linear-algebra  linear-solver  sparse-matrix  krylov-method 

質問： あなたは対称正定値行列のための2つの異なった（因数分解）予備調整があると： A ≈ B T B 及び A ≈ C T C 、 因子の逆数をAAAA ≈BTBA≈BTBA \approx B^TBA ≈ CTC、A≈CTC、A \approx C^TC,B 、BT、C、CTB、BT、C、CTB, B^T, C, C^T容易にしているが適用します。 と両方 からの情報を使用して、またはいずれか単独よりも優れた前提条件を構築することはいつ可能ですか？C B CBBBCCCBBBCCC

15 linear-algebra  krylov-method  preconditioning  condition-number 

多項式前提条件に何が起こったのだろうか。それらは数学的な観点からは比較的エレガントに見えるので興味がありますが、クリロフ法の調査で読んだ限り、それらは一般に前提条件として非常に貧弱です。Saadとvan der Hostの言葉で、「これらの技術に対する現在の関心は、ほとんど消え去りました」（ここ）。それにもかかわらず、最近ではマルチコアおよびGPU計算の使用が行われています。 誰も私に言うことができますか、むしろこれらの方法がどのコンテキストで生きているのか、そして現在の最先端の良い調査をどこで見つけることができますか？

15 iterative-method  preconditioning  krylov-method 

私の知る限り、マルチグリッドソルバーは、Jacobi、Gauss-Seidel、SORなどの反復スムーザーを使用して、さまざまな周波数でエラーを減衰させます。代わりに、クリロフ部分空間法（共役勾配、GMRESなど）を利用できますか？私はそれらが「スムーズナー」として分類されるとは思わないが、それらは粗いグリッド解を近似するために使用できる。標準的なマルチグリッド法の場合と同様に、ソリューションへの類似した収束を期待できますか？それとも問題に依存していますか？

15 linear-algebra  multigrid  iterative-method  krylov-method 

線形システムがあり、すべてのbに対して適切なクリロフ法（CGやGMRESなど）を使用して迅速に収束するとします。場合Bが低いランクを有する行列であり、システム上の同じクリロフ法であろうまた、（理想的にはおおよそにのみ依存する反復の余分な数で迅速に収束）？Ax=bAx=bA x = bbbbBBB（A + B ）x = b rrrr(A+B)x=b(A+B)x=b(A + B) x = brrr そのようなシステムの例は、十分に前処理された膜の弾性と曲げに加えて、高密度の外部製品構造を備えた前処理されていない気圧条件です。 あるため、質問は前提条件の有無にかかわらず同じであることに注意してください。P(A+B)Q=PAQ+PBQP(A+B)Q=PAQ+PBQP(A + B)Q = PAQ + PBQはP A Qのランク修正で。rrrPAQPAQPAQ

14 krylov-method 

マルチグリッド（MG）は、線形システム解くために使用されてもよい初期推定構築することによって、X 0とするための次の繰り返しiは= 0 、.. 1収束するまで：A x = bAバツ=bAx=bバツ0バツ0x_0i = 0、1 ...私=0、1 ..i=0,1.. 残差r i = b − A x iを計算しますr私= b − A x私r私=b−Aバツ私r_i = b-Ax_i 近似を得るためにマルチグリッドサイクルを適用、ここで、A 、E 、I = R I。ΔのX私≈ E私△バツ私≈e私\Delta x_i \approx e_iA e私= r私Ae私=r私Ae_i = r_i アップデートは、バツi + 1← x私+ Δ X私バツ私+1←バツ私+△バツ私x_{i+1} \gets x_i + \Delta …

13 linear-algebra  linear-solver  multigrid  krylov-method 

gmresやbicgstabのようなメソッドでは、別のkrylovメソッドを前提条件として使用すると魅力的です。結局のところ、それらは、マトリックスを使用しない方法および並列環境で簡単に実装できます。たとえば、1つのcoulは、gmresまたはkrylovメソッドのその他の組み合わせの事前調整子として、事前調整されていないbigcstabのいくつかの（たとえば〜5回）反復を使用します。私は文学ではそのようなアプローチにあまり言及していないので、あまり効果的ではないからだと思う。なぜそれが効率的でないのかを理解したいと思います。それが良い選択である場合はありますか？ 私の研究では、並列（mpi）環境での3D楕円問題の解決に興味があります。

13 linear-algebra  linear-solver  preconditioning  krylov-method  gmres 

すべてのノイマン境界条件を持つポアソン方程式には、単一の一定次元のヌル空間があります。クリロフ法で解く場合、反復ごとに解の平均を減算するか、単一の頂点の値を固定することにより、ヌル空間を削除できます。 単一の頂点を固定すると、単純化という利点があり、投影ごとの余分なグローバルな削減も回避されます。ただし、コンディショニングへの影響により、通常は悪いと見なされます。したがって、私は常に平均を差し引いてきました。 ただし、2つの方法は、最大でランク2の修正だけ異なるため、（1）によると、ほぼ同じ反復回数（少なくとも正確な算術計算）で収束する必要があります。この推論は正しいのですか、それともポイントの固定が悪い（おそらく不正確な算術）という追加の理由がありますか？ （1）：低ランクの変更はKrylovメソッドの収束にどのように影響しますか？

13 krylov-method 

私のシステムは、ラグランジュ乗数を伴う対称FE問題です（たとえば、非圧縮ストークスの流れ）。 （ABBTC）（ABTBC）\begin{pmatrix}A & B^T \\ B & C\end{pmatrix} ここで、は典型的なケースです（ラグランジュ乗数が最後に現れるように方程式に番号が付けられていることを確認しました）。システムは非常に大規模です（+ 100k行）。C= 0C=0C = 0 この質問に対する答えを読んで、混合FE問題に使用できる適切な前提条件が存在するという印象を受けました。 PETScを使用して、MINRES（-ksp_type minres -pc_type none -mat_type sbaij）でシステムを解決できましたが、精度はそれほど高くありません（線形問題に対していくつかのニュートン反復が発生します）。前提条件とksp-solverの他の組み合わせは機能しないようです。 MINRESを使用するよりも速くこのシステムを解決するPETScのフラグの組み合わせはありますか？

12 finite-element  petsc  krylov-method  preconditioning 

共役勾配（CG）メソッドを使用して、巨大なスパース正定行列Aのを解いています。解析中に生成された情報を使用して、Aの行列式を計算することは可能ですか？A x = bAx=bAx=bAAAAAA

11 linear-algebra  optimization  krylov-method  conjugate-gradient 

計算科学では、直接法または反復法などのいくつかの（効率的な）手段で解く必要のある大きな線形システムに遭遇することがよくあります。後者に注目した場合、大規模な線形システムを解くための反復法が実際に収束的であることをどのように確立できますか？ 試行錯誤分析（cf. なぜ私の反復線形ソルバーが収束しないのか？）を行い、証明による収束を保証するか、音響経験ベース（例えば、CGやGMRESなどのKrylov部分空間法）を持つ反復法に依存できることは明らかです。それぞれ対称および非対称システムの場合）。 しかし、実際に収束を確立するために何ができるでしょうか？そして何が行われますか？

11 linear-algebra  iterative-method  convergence  krylov-method 

事前調整されたクリロフ法を使用して線形システムを解きたいが、前提条件子自体を適用することは、別の事前調整されたクリロフ法で行われる補助システムを解くことを含む状況を考慮してください。 極端な例として、内側のソルバを実行して、外側のソルバの各ステップ内で収束させることができます。 もう一方の極端では、内部ソルバをまったく実行できませんでしたが、代わりにそれを内部プレコンディショナに置き換えます。 途中のどこかで、一定の反復回数の後、または特定の許容誤差が達成された後に、内側のクリロフループを切り捨てることができます。 経験的に、私は最初の極端が優れている状況と、2番目の極端が優れているさまざまな状況（合計コストに関して）に遭遇しました。ただし、特定の状況で1つの戦略が他の戦略よりも優先される理由は明確にはわかりません。 これらの異なる戦略が望ましい場合についてのガイダンスまたは理論はありますか？

9 preconditioning  krylov-method 

[1]のように、クリロフ法を使用してODEのラージシステムの解を計算することに興味があります。このような方法には、指数関数に関連する関数（いわゆる関数）が含まれます。これは基本的に、Arnoldi反復を使用してクリロフ部分空間を作成し、この部分空間に関数を投影することにより、行列関数のアクションを計算することで構成されます。これにより、はるかに小さいヘッセンバーグ行列の指数を計算する問題が軽減されます。φφ\varphi 指数を計算するアルゴリズムがいくつかあることを知っています（[2] [3]とその参照を参照）。行列がヘッセンバーグであることを利用できる指数を計算するための特別なアルゴリズムがあるのだろうか？ [1] Sidje、RB（1998）。Expokit：行列指数を計算するためのソフトウェアパッケージ。ACM Transactions on Mathematical Software（TOMS）、24（1）、130-156。 [2] Moler、C。、およびVan Loan、C。（1978）。行列の指数を計算する19の疑わしい方法。SIAMレビュー、20（4）、801〜836。 [3]モーラーC.、およびバンローンC.（2003）。25年後のマトリックスの指数を計算する19の疑わしい方法。SIAMレビュー、45（1）、3-49。

9 linear-algebra  matrix  numerical-analysis  time-integration  krylov-method