クリロフ部分空間法をマルチグリッドのスムーザーとして使用できますか？

私の知る限り、マルチグリッドソルバーは、Jacobi、Gauss-Seidel、SORなどの反復スムーザーを使用して、さまざまな周波数でエラーを減衰させます。代わりに、クリロフ部分空間法（共役勾配、GMRESなど）を利用できますか？私はそれらが「スムーズナー」として分類されるとは思わないが、それらは粗いグリッド解を近似するために使用できる。標準的なマルチグリッド法の場合と同様に、ソリューションへの類似した収束を期待できますか？それとも問題に依存していますか？

はい、できますが、クリロフ法には通常、優れた平滑化特性がありません。これは、誤差の残差または適切なノルムを最小化する適応的な方法で、スペクトル全体をターゲットにしているためです。これには通常、粗いグリッドでうまく処理できる低周波数（長波長）モードが含まれます。Krylovスムーザーは、マルチグリッドサイクルを非線形にするため、マルチグリッドが外部Krylovメソッドの前提条件として使用されている場合、外部メソッドは「柔軟」でなければなりません（GCRやFGMRESなど）。

Krylovスムーザーを使用すると、計算する必要がある内積の数も大幅に増加し、これが並行して大きなボトルネックになります。ただし、これらの魅力のない特性を備えた場合でも、Krylovスムーザーは、特に、適切な補間演算子が利用できない困難な問題の場合に便利です。

$\lambda_\max$$D^{-1}A$$D^{-1}$$A$$(0.1 \lambda_{\max}, 1.1 \lambda_{\max})$$1$$5$$5$$10$）のGMRESまたはCGは\ lambda_ \ maxの推定に使用される$\lambda_\max$ため、ユーザーはこれらを自分で計算する必要はありません。\ lambda_ \ maxの推定値$\lambda_\max$は、代数マルチグリッド法でも使用され、粗大化戦略を選択します。

Adams、Brezina、Hu、and Tuminaro（2003）は、多項式スムーザーの並列およびアルゴリズムのパフォーマンスに関する素晴らしい論文です。多項式スムーザーは、非対称問題に対してあまり効果的ではない（および/または定式化するのが難しい）傾向があることに注意してください。