低ランクの変更はKrylovメソッドの収束にどのように影響しますか？

線形システムがあり、すべてのに対して適切なクリロフ法（CGやGMRESなど）を使用して迅速に収束するとします。場合低いランクを有する行列であり、システム上の同じクリロフ法であろうまた、（理想的にはおおよそにのみ依存する反復の余分な数で迅速に収束）？ $A x = b$ $b$ $B$ $r$ $(A + B) x = b$ $r$

そのようなシステムの例は、十分に前処理された膜の弾性と曲げに加えて、高密度の外部製品構造を備えた前処理されていない気圧条件です。

あるため、質問は前提条件の有無にかかわらず同じであることに注意してください。 $P(A + B)Q = PAQ + PBQ$ はランク修正で。 $r$ $PAQ$

krylov-method

— ジェフリーアーヴィング
ソース

Krylov部分空間がべき乗に基づいている場合、収束は多くても補正のランクの反復回数だけ遅延します。累乗に基づいている場合、この数値の最大2倍です。 $A$ $A^TA$

私は文学でそのような声明を見たことがありません。しかし、最初の場合に妥当性を確認するために、あることを示すのに十分である行列のクリロフ空間番目有する列が低ランクの修正なしではなく、Aに対応する空間内に収容されていますそれに対応して、より高いインデックス。これは簡単に確認できます。 $k$ $A+USV^T$ $U,V$ $r$ $k+r$

— アーノルド・ノイマイアー
ソース

「

累乗に基づいて」とはどういう意味ですか？クリロフソルバは情報を与えられている

のみではなく、

直接的。

A

$A$

A + B

$A+B$

A

$A$

— ジェフリーアーヴィング

気にしないでください：おそらくあなたは問題の行列のべき乗を意味するので、この場合は

です。

A + B

$A+B$

— ジェフリーアーヴィング

はい。メソッドにはパラメーターとして行列があり、この行列は通常

示されます。

A

$A$

— アーノルドノイマイアー

たぶん、さらに関心をあなたが上で、いくつかの要件にあなたの方程式（または溶液）を書き換える可能性が

に

たのかもしれない助けている場合

冪零ですか

の小さなノルム。また、問題の解決策への依存を認識しています。

B

$\boldsymbol{B}$

x = (E + \sum_{k = 1}^{\infty} {(A^{- 1} B)}^{k}) A^{- 1} b

$\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{E}+\sum_{k=1}^\infty\left(\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^k\right) \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b}$

B

$\boldsymbol{B}$

A^{- 1} B

$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$ undisturbed

— バスティアンエベリング