Krylov加速マルチグリッド（MGを前提条件として使用）はどのように動機付けられますか？

マルチグリッド（MG）は、線形システム解くために使用されてもよい初期推定構築することによって、X 0とするための次の繰り返しiは= 0 、.. 1収束するまで：$Ax=b$$x_0$$i=0,1..$

1. 残差r i = b − A x iを計算します$r_i = b-Ax_i$
2. 近似を得るためにマルチグリッドサイクルを適用、ここで、A 、E 、I = R I。$\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. アップデートは、$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

マルチグリッドサイクルは、平滑化、補間、制限のいくつかの配列であり、正確な粗いグリッド解決する操作を印加生成するためにΔはxはIを。これは通常、VサイクルまたはWサイクルです。私たちが書くように、これは線形動作であるΔは、xはI = BのR I。$r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

このプロセスは、条件付きのリチャードソン反復として解釈できます。つまり、を更新します。$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

リチャードソンの反復は、典型的なクリロフ部分空間法であり、マルチグリッドサイクルを使用して他のクリロフ部分空間法を事前調整することを提案します。これは、Krylovメソッドを使用した「加速」マルチグリッドと呼ばれることもありますが、Krylovメソッドの前提条件の選択肢と見なすこともできます。

上記のアルゴリズムを拡張する別の方法は、フルマルチグリッド（FMG）を使用することです。簡潔な説明については、この回答を参照してください。

クリロフ加速MGはどのような状況でMGまたはFMGよりも望ましいですか？

$b-Ax$

ただし、実際の多くの場合、最適または効果的なマルチグリッド方式は使用されません。これは、

• そのような方法は、特定の問題に対して不明または利用できない
• 平滑化とグリッド間演算子は、教科書の収束を提供するのに十分ではありません
• 粗いグリッドソルバーは不正確です

$BA$

準最適な方法を使用することを選択すると、Krylovアクセラレーションが報われるポイントまで、はるかに「安価な」マルチグリッドサイクルになる可能性があることに注意してください。つまり、クリロフ加速MGがMGを上回ることができる問題（およびコンピューティングシステム）が存在する可能性があります。この具体例を見つけることに興味があります。

（上記の@chrisと、チュートリアルで上記のいくつかについて言及してくれたMatt Knepleyに感謝します）