ヌルスペースを削除するためにポイントを固定するのはなぜ悪いのですか？

すべてのノイマン境界条件を持つポアソン方程式には、単一の一定次元のヌル空間があります。クリロフ法で解く場合、反復ごとに解の平均を減算するか、単一の頂点の値を固定することにより、ヌル空間を削除できます。

単一の頂点を固定すると、単純化という利点があり、投影ごとの余分なグローバルな削減も回避されます。ただし、コンディショニングへの影響により、通常は悪いと見なされます。したがって、私は常に平均を差し引いてきました。

ただし、2つの方法は、最大でランク2の修正だけ異なるため、（1）によると、ほぼ同じ反復回数（少なくとも正確な算術計算）で収束する必要があります。この推論は正しいのですか、それともポイントの固定が悪い（おそらく不正確な算術）という追加の理由がありますか？

（1）：低ランクの変更はKrylovメソッドの収束にどのように影響しますか？

あなたの議論は、前提条件のない場合にも自然に当てはまります。ピン留めを推奨しない理由は、規範と前提条件を混同するためです。典型的な対角値のサイズがわかっている場合は、固定されたノードの自明な方程式をスケーリングして、ノルムが再び妥当になるようにすることができます。

事前調整の結果を確認するには、固定を実行するさまざまな方法を区別する必要があります。最も人気のある2つを検討します。

1. 「行のゼロ化」（アイデンティティのスケーリングされた行に等しい行を設定する）によって固定が達成される場合、クリロフ法の選択を制限し、前提条件を混乱させる非対称性を導入します。
2. 対応する列もゼロになっている場合（寄与が右側に「持ち上げられた」）、効果はかなり良性です。

マルチグリッドの補間演算子は、各レベルで互換性のある方法で固定を行うために調整する必要がある場合があることに注意してください。適切なスケーリングでピン留めを実装することによって導入される複雑さを気にしないのであれば、それは素晴らしいアプローチです。ほとんどの場合、ヌルに近いスペースを提供するよりも、中断を伴わない方法でピン留めを実装する方が、侵入的でエラーが発生しやすいことがわかります。元の（特異な）行列を使用することにより、ソルバーライブラリは、提供されたヌルスペースが実際にヌルスペースであることを検証することもできます。