ネストされた前提条件子のガイドライン

事前調整されたクリロフ法を使用して線形システムを解きたいが、前提条件子自体を適用することは、別の事前調整されたクリロフ法で行われる補助システムを解くことを含む状況を考慮してください。

• 極端な例として、内側のソルバを実行して、外側のソルバの各ステップ内で収束させることができます。

• もう一方の極端では、内部ソルバをまったく実行できませんでしたが、代わりにそれを内部プレコンディショナに置き換えます。

• 途中のどこかで、一定の反復回数の後、または特定の許容誤差が達成された後に、内側のクリロフループを切り捨てることができます。

経験的に、私は最初の極端が優れている状況と、2番目の極端が優れているさまざまな状況（合計コストに関して）に遭遇しました。ただし、特定の状況で1つの戦略が他の戦略よりも優先される理由は明確にはわかりません。

これらの異なる戦略が望ましい場合についてのガイダンスまたは理論はありますか？

この質問は長い間公開されていましたが、それでも答える価値があると思います。

$\tilde x = K(A,P,\tau,N; b)$$K$$Ax=b$$N$$\tau$$P\approx A^{-1}$$K$$b$

$K(A,P,0,\infty;\cdot)$$Ax=b$$K(A,P,0,\infty;b)=A^{-1}b$$b$$b$$r^{(0)}=b-Ax^{(0)}$$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$N$$\tau$

$K(A,P,\tau,N; \cdot)$$A$

これは、前提条件に使用される他の多くの方法とは対照的です。たとえば、1つのSSORステップは、固定点反復の1ステップを適用する他のすべてのメソッドと同様に、適用するベクトルに対する線形演算です。

現在の根本的な問題は、ほとんどのクリロフ空間法は、前処理が線形演算子であることを必要とすることです。前提条件が線形でない場合、それらは単に収束せず、観察結果を説明します。一方で、いくつかのクリロフ空間法のバリエーションがあります。通常、「Flexible GMRES」のF-GMRESなど、「Flexible」という単語が前に付けられます。これは、これを回避し、線形でない前提条件子を処理できます。演算子。元のメソッドのこれらの柔軟なバリアントは依然として収束し、優れた（ただし非線形）プレコンディショナーと組み合わせると、多くの場合強力なメソッドになります。