「二重前提条件」を行う方法はありますか

15

質問：

あなたは対称正定値行列のための2つの異なった（因数分解）予備調整があると：及び因子の逆数を $A$

A \approx B^{T} B

$A \approx B^TB$

A \approx C^{T} C 、

$A \approx C^TC,$

B, B^{T}, C, C^{T}

$B, B^T, C, C^T$ 容易にしているが適用します。

と両方からの情報を使用して、またはいずれか単独よりも優れた前提条件を構築することはいつ可能ですか？ $B$ $C$ $B$ $C$

— ニック・アルガー
ソース

13

添加剤を使用できます

P_{a}^{- 1} バツ = （ B^{T} B ）^{- 1} バツ + （ C^{T} C ）^{- 1} バツ 、

$P_a^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} x,$

乗法

P_{m}^{- 1} バツ = （ B^{T} B ）^{- 1} バツ + （ C^{T} C ）^{- 1} （ バツ - A （ B^{T} B ）^{- 1} バツ ） 、

$P_m^{-1} x = (B^T B)^{-1} x + (C^T C)^{-1} \Big(x - A (B^T B)^{-1} x \Big),$

または対称乗法。このクラスのメソッドを使用してPETScで利用可能なPCCOMPOSITEを PETScに。例えば、

petsc/src/ksp/ksp/examples/tutorials$ ./ex2 -m 100 -n 100 -ksp_monitor \ -pc_type composite -pc_composite_type multiplicative \ -pc_composite_pcs ilu,gamg 0 KSP Residual norm 7.088415699389e+01 1 KSP Residual norm 1.271768323411e+01 2 KSP Residual norm 1.529853612054e+00 3 KSP Residual norm 1.214841683459e-01 4 KSP Residual norm 8.341606406485e-03 5 KSP Residual norm 6.471990946051e-04 6 KSP Residual norm 8.082672366030e-05 7 KSP Residual norm 6.111138513482e-06 Norm of error 6.93786e-06 iterations 7

ユーザーマニュアルは「前処理行列を組み合わせる」のセクションを持っています。

— ジェド・ブラウン
ソース

優れたありがとう！これらの組み合わせが効果的または無害になる条件を議論する理論または論文を知っていますか、それとも試行錯誤ですか？

— ニックアルガー14

すべての事前調整と同様に、分析は事前調整された演算子のスペクトルの観点から行われ、一般化された固有値問題によって表現されることがよくあります。直感的に、各前提条件が異なるプロセスまたはスペクトルの異なる部分をターゲットにしている場合、組み合わせの意図は両方の部分を修正することです。このクラスの最も成功したアプローチは、マルチグリッド、ドメイン分解、およびフィールド分割（それぞれの文学）を含むサブスペース修正に基づいています。PETScには、これらの場合に並列処理を公開したり、中間結果を再利用したりするための、より専門的な前提条件があります。

— ジェドブラウン14

1

Jedの優れた答えに加えて、最近見つけた方法は、たとえば、

Tezduyar、TE、他「有限要素計算のための新しい混合前処理方法。」応用力学と工学におけるコンピューター法99.1（1992）：27-42。http://repository.ias.ac.in/24680/1/320.pdf

— ニック・アルガー
ソース