gmresやbicgstabのようなメソッドでは、別のkrylovメソッドを前提条件として使用すると魅力的です。結局のところ、それらは、マトリックスを使用しない方法および並列環境で簡単に実装できます。たとえば、1つのcoulは、gmresまたはkrylovメソッドのその他の組み合わせの事前調整子として、事前調整されていないbigcstabのいくつかの（たとえば〜5回）反復を使用します。私は文学ではそのようなアプローチにあまり言及していないので、あまり効果的ではないからだと思う。なぜそれが効率的でないのかを理解したいと思います。それが良い選択である場合はありますか？

私の研究では、並列（mpi）環境での3D楕円問題の解決に興味があります。

興味深いのは、昨日、これを行う実装を終えたばかりだからです。

私の背景

まず始めに、私の教育の背景は科学計算ですが、現在の博士号を含め、卒業後に行ったすべての仕事を教えてください。仕事、計算電磁気学でされています。あなたも物理学を見ているように見えるので（プロファイルに基づいて）、私たちの背景はやや似ていると思います。

FGMRES

まず第一に、あなたが探しているものは、Guido Kanschatがすでにコメントで言及しているように、Flexible GMRESまたはFGMRESと呼ばれます。擬似コードを含む参照は[1]にあります。数値のSIAM論文を読むのが少し難しいと感じることもありますが、[1]（そして、法的に無料でオンラインで入手できる、明らかに[B1]を含むSaadの他の作品のほとんど）は異なります。この論文は魅力的な読み物であり、非常に明確に書かれており、アプリケーションに関するいくつかの素晴らしい例と提案があります。

FGMRESの実装は簡単です。特に、適切な前処理済みGMRESが既に機能している場合は簡単です。ここでキーワードRIGHTに注意してください-左前処理済みGMRESがある場合、つまりMAx = Mbの解決に慣れている場合は、いくつかの修正が必要です。[B1、アルゴリズム9.4の9.4を比較します。282]から[B1、Algorithm 9.5、pg。284]。FGMRESは[B1、Algorithm 9.6、pg。287]、しかし、[1]は短く、よく書かれていて、まだ多くの興味深い詳細があるので、ぜひ読んでください。

それは何をするためのものか

FGMRESでは、基本的に、必要に応じて、反復ごとに前提条件を切り替えることができます。このためのアプリケーションの1つは、ソリューションから遠く離れているときに非常にうまく機能するプリコンディショナーを使用し、近づいたときに別のものに切り替えることができることです。[2]、これは詳細には読んでいませんが、これに似た何かを議論しているようです。

ただし、私の場合の最も興味深いアプリケーションは、FGMRESの前提条件として（前提条件付き）GMRESを使用できることです。これが、FGMRESの典型的な名前「inner-outer GMRES」の背後にある理由です。ここで、「外側」とはFGMRESソルバーを指し、（前提条件として）「内側」ソルバーを使用します。

それで、実際にこれはどれくらい良いですか？

私の場合、これは絶対に素晴らしい働きをしました。内側のループでは、問題の複雑さを軽減した定式化を「解決」します。単独では、このソリューションは私たちが使用するにはあまりにも不正確ですが、前提条件としては非常に効果的です。「解決」の周りの「」に注意してください-大まかな近似のみを探しているため、収束するまで内側のソルバーを実行する必要はありません。私の場合、それぞれ64秒の151回の反復から、それぞれ79秒の72回の反復に変更しました（内部GMRESで固定の5回の反復を使用しました）。これは、1時間の節約になります。再帰を作成したGMRESが既に機能しているので、精度が失われることはなく、コーディング作業はほとんどありません。

潜在的なパフォーマンスを示すこのようなもののアプリケーションについては、[3]（実際には3レベルのFGMRESを使用するため、FGMRES、FGMRES、インナー、GMRES、インナー-インナー）および[4]を参照してください。用途に固有のアプリケーションですが、興味深いテストケースがいくつか含まれています。

参照資料

[1] Y. Saad、「柔軟な内部-外部事前調整GMRESアルゴリズム」、SIAM J. Sci。Comp。、vol。14、いいえ。2、pp。461–469、1993年3月。http： //www-users.cs.umn.edu/~saad/PDF/umsi-91-279.pdf

[2]D.-Z。ディン、R.-S。Chen、Z。Fan、「オープンオブジェクトの散乱のMLFMM解析のためのSSOR事前調整されたインナーアウターフレキシブルGMRESメソッド」、Progress In Electromagnetics Research、vol。89、pp。339–357、2009。http ： //www.jpier.org/PIER/pier89/22.08112601.pdf

[3] TF Eibert、「表面積分方程式とハイブリッド有限要素境界積分手法により計算されたいくつかの散乱結果、マルチレベル高速多重極法により加速」、IEEE Antennas and Propagation Magazine、vol。49、いいえ。2、pp。61–69、2007。

[4]Ö。Ergül、T。Malas、およびL.Gürel、「通常および近似のマルチレベル高速多重極アルゴリズムを備えた反復内部-外部スキームを使用した大規模電磁問題のソリューション」、Progress In Electromagnetics Research、vol。106、pp。203–223、2010。http ： //www.jpier.org/PIER/pier106/13.10061711.pdf

[B1] Y. Saad、スパース線形システムの反復法。SIAM、2003。http ：//www-users.cs.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf

このようなネストされたクリロフ部分空間法は、実際には非常にうまく機能する可能性があります。再起動されたGMRESが停滞し、再起動されていないGMRESが高すぎるか、メモリを過剰に使用している非対称線形システムにとって興味深い場合があります。いくつかの文献：

1. GMRESR：ネストされたGMRESメソッドのファミリー、van der Vorst、Vuik
2. 柔軟な内外クリロフ部分空間法、Simoncini、Szyld
3. 柔軟な内外の事前調整されたGMRESアルゴリズム、Saad
4. GMRESR、Vuikのさらなる経験