固定小数点反復を使用して、pdeのシステムを分離する

境界値の問題があると仮定します。

D

$$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$$ uが=時間 に ∂ $$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$$ $$u=h \text{ in } \partial\Omega$$

私の目標は、この結合問題の解を非結合PDEのシーケンスに分解することです。システムを分離するために、私は、固定された近似値のシーケンス上の点繰り返し印加だ、その結果を$(u^k,v^k)$

du k −

$$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$$ $$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$$

理論的には、これにより、両方の方程式を純粋な楕円PDEとして解くことができます。ただし、この方法でPDEに適用される不動点反復を見たことはありません。数値的に離散化された方程式（有限差分法、有限要素法など）に適用される不動点の反復を見ましたが、連続方程式に直接適用されることはありません。

これを行うことで露骨な数学的原則に違反していますか？これは数学的に有効ですか？DISCRETE変数問題ではなく、CONTINUOUS変数問題に適用される固定小数点反復を使用して、結合されたPDEを非結合PDEのシーケンスとして解決できますか？

この時点で、私はこの方法を使用することが実際的であるかどうかではなく、理論的に妥当であるかどうかを心配しています。フィードバックは大歓迎です！

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

$$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\ $$ （プラス境界条件）。

ことは明らかである場合には、このシーケンスの収束、それはPDEのあなたの元のセットのソリューションとなります。

$x^k\to x^{k+1}$$u^0$$v^0$

$$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$$ $|q|<1$$(u^{k-1}, v^{k-1})$$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

このロジックは、連続空間と離散空間の両方で機能します。