正の半定行列に対して収束する反復線形ソルバーはどれですか？

私はこの問題のために収束することが保証されている古典的な線形ソルバー（例えば、ガウス・ザイデル、ヤコビ、SOR）のどちらかを知りたい正である半明確な、そしてもちろんの $Ax=b$ $A$ $b \in im(A)$

（通知は半確定であり、確定ではありません） $A$

— オラムンド
ソース

正の半定行列を意味しますか？

— meawoppl 2012年

そのような行列で線形システムを解くことの使用は何ですか？私が間違っていなければ、正の半定行列が非特異であれば、それは単に正定です。

— faleichik

はい私は確信しています。私は実際の証明と同様に私の記憶をリフレッシュする必要がありますが、あなたが言っていたことに従って

の計算の分母がゼロである場合、それは

がゼロであることを意味します。 Aは単数ではなく、Aのスパン内にないまま残された残差です（したがって、これが「最適な」解です）。実際にした場合の

残差がちょうど最初の時間の前にゼロに到達するように、これは発生しません

α

$\alpha$

A P_{k}

$A P_k$

b \in s p a n (A)

$b \in span(A)$

A P_{k} = 0

$AP_k=0$

— olamundo

設定します。その後、

。CGが原因に収束する

全てについて

。つまり、

が正定値である

を離れることはありません。

x_{0} = b

$x_0=b$

A^{n} b \in I m (A)

$A^nb\in Im(A)$

x_{n}^{*} A x_{n} > 0

$x_n^\ast Ax_n> 0$

0 \neq x_{n} \in I m (A)

$0\ne x_n\in Im(A)$

I m (A)

$Im(A)$

A

$A$

— Deathbreath

@faleichik：量子力学の低密度行列は、非常に多くの場合に正の半定値です。

— Deathbreath

回答:

共役勾配アルゴリズムは半確定問題に対して機能し、最小のノルム解を生成します。

— アーノルド・ノイマイヤー
ソース

ありがとう。「古風な」ソルバーに関するアイデア、たとえばSOR Gauss-Seidelなど

— olamundo

それらはもうほとんど使用されておらず、これらがどのように動作するかはわかりません。

— Arnold Neumaier

明確にするために：CGは、ほとんどの場合、半定行列ではバニラ形式では機能しません。BがAのイメージ内にある場合、理論上は機能する可能性があります。しかし、これが数値計算でうまく終了することはほとんどありません。非常によく似たクリロフベースのMINRESは、ここでははるかに良い選択です。また、これらの「古風な」ソルバーは、1つの例を挙げると、マルチグリッドタイプのソルバーで広く使用されています。

— Eelco Hoogendoorn 2018

$b$ $A$

同じことは、ヤコビについてはほとんど当てはまりません。誰が現代のコンピューターハードウェアでガウスザイデルに悩むことを望んでいるので、どれが残念ですか？問題が対角線を支配するブロックに分割できる場合、あなたは幸運です。増分Gauss-Seidel方式でこれらのブロックにJacobi更新を適用し、これらのタイプの半確定問題に対して両方のベストを得ることができます。

— Eelco Hoogendoorn
ソース