固定小数点問題の非単調収束

バックグラウンド

私は、液体理論からOrnstein-Zernike方程式の変形を解いています。抽象的に、問題は不動点問題を解くと表現できます。ここで、Aは積分代数演算子であり、c （r ）は解関数（OZ直接相関関数）です。私は初期の試行解c 0（r ）を提供し、スキーム c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$αは調整可能なパラメータの制御ミックスつまり Cと Cの次の試験溶液中に使用しました。この議論のために、 αの値は重要ではないと仮定しましょう。私が希望する許容誤差内に反復が収束するまで繰り返し ε： ΔのJ + 1 ≡ ∫ D → R | c j + 1（r ）−

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ 私の問題の変形では、 Aはパラメーター λに依存し、私の質問は A c = cの収束がこのパラメーターにどのように依存するかについてです。 $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

の値の範囲が広い場合、上記の反復スキームは指数関数的に迅速に収束します。しかし、λを小さくすると、最終的に収束が非単調になるレジームに到達します（下図参照）。 $\lambda$$\lambda$

重要な質問

固定小数点問題の反復解法において、非単調収束には特別な意味がありますか？反復スキームが不安定になりつつあることを示していますか？最も重要なのは、非単調収束が「収束」ソリューションが固定小数点問題の良いソリューションではないことを疑わせるべきですか？

仮定溶液中の未知の独立変数である$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. ソリューションが適切に確立された相対許容範囲内で収束した場合、これも小さな数値を占めます。