ニュートン法の魅力の流域

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非線形方程式を解くためのニュートンの方法は、開始推測が解に「十分に近い」場合、二次的に収束することが知られています。

「十分に近い」とは何ですか？

この魅力の盆地の構造に関する文献はありますか？

iterative-method convergence nonlinear-equations

— デビッド・ケチェソン
ソース

ルートは（複数ではなく）分離する必要があります。ヘッセ行列が領域内で一様に定まっている（上または下に凹んでいる）場合は、問題ありません。もちろん、これらの条件を経験的に保証またはテストすることは、通常、非現実的です。

— hardmath

先日NA-Digestで質問を見て興味深かった。どうやら私だけではなかったようです:-)

— Wolfgang Bangerth '25 / 07/25

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複雑な領域の単一の有理方程式の場合、引力の領域はフラクタルであり、いわゆるジュリア集合の構成要素です。http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set。いくつかの素晴らしいオンライン図の理論については、例えば、
http ：//mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdfを参照して
 ください。

の ''グローバル化された ''減衰ニュートン法でさえ、フラクタルの引き寄せ領域があります。http://www.jstor.org/stable/10.2307/2653002を参照してください。 $x^3-1=0$

したがって、ソリューションに「十分に近い」ものを詳細に指定する意味はほとんどありません。二次導関数の境界を知っている場合、ニュートンの方法が収束するボールの半径に下限を与えるニュートン・カントロビッチの定理がありますが、1Dを除いて、これらはかなり悲観的になる傾向があります。

計算に役立つ境界は、区間演算を使用して取得できます。たとえば、私の論文
Shen ZuheとA. Neumaier、Krawczyk演算子、およびKantorovichの定理、J。Mathを参照してください。肛門。アプリケーション 149（1990）、437-443。
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— アーノルド・ノイマイヤー
ソース

がフラクタルベイスンアトラクションを持っているのは、複素平面のみです。実際のラインでは、

初期推定で十分です（

になると、収束は単調減少になり、2次レートがすぐに表示されます）。

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

— hardmath

1

@hardmath：はい、しかし複雑な方程式は2つの変数の2つの実際の方程式になり、同じことが当てはまります。

— アーノルドノイマイヤー2012

4

「十分に近い」は、フラクタルのクラスを生み出すことを考えると、特徴付けるのが困難です。ライン検索や信頼領域などのグローバリゼーション戦略を備えたニュートン法は、魅力の領域を拡張します。最適化など、追加の問題構造が利用可能な場合、収束に必要な仮定をさらに弱めることができます。

— ジェド・ブラウン
ソース

好奇心のために、「最適化などで追加の問題構造が利用可能な場合、収束に必要な仮定をさらに弱めることができる」という例はありますか？

— vanCompute 2012年

@vanCompute オブジェクトファンクショナルが1次の最適性条件で失われる情報を提供する最適化に関連する例については、この例を参照してください。別の形式は、特定の継続（疑似過渡、パラメーター、グリッドなど）が常に収束するという知識ですが、問題を直接解決しようとする場合、解に到達する前に残差を増やす必要があります。

— ジェドブラウン

3

複雑な多項式に適用されたニュートン法には、いくつかの有用な結果があります。

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

その他の明示的な境界は、ニュートンの方法を使用して複素多項式の根を確実に見つける方法（定理1.2）のAnthony Manningによって与えられています。

ハバードらによるニュートンの方法で複素多項式のすべての根を見つける方法も参照してください。
発明する。数学。146（2001）、いいえ。1、1〜33。pdf

— LHF
ソース

math.stackexchange.com/a/1038487/589から改変。

— lhf 2014