FFTポアソンソルバーの収束率

FFTポイズンソルバーの理論上の収束率は？

Iは、ポアソン方程式を解く午前：と

\nabla^{2} V_{H} （ バツ 、 y 、 z ） = - 4 π n （ バツ 、 y 、 z ）

$\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)$

ドメインに

、周期的境界条件を有します。この電荷密度は正味中立です。溶液は、で与えられる：

n （ バツ 、 y 、 z ） = \frac{3}{π} （ （ バツ - 1 ）^{2} + （ y - 1 ）^{2} + （ z - 1 ）^{2} - 1 ）

$n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)$

[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]

$[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$

ここで

。逆空間における

V_{H} （ バツ ） = \int \frac{n （ y ）}{| バツ - y |} d^{3} y

$V_H({\bf x}) = \int {n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 y$

x = (x, y, z)

${\bf x}=(x, y, z)$

ここで、

は逆空間ベクトルです。ハートリーエネルギーに興味があります：

V_{H} （ G ） = 4 π \frac{n （ G ）}{G^{2}}

$V_H({\bf G}) = 4\pi {n({\bf G})\over G^2}$

G

${\bf G}$

で逆空間これは（離散化した後）になる：

E_{H} = \frac{1}{2} \int \frac{n （ バツ ） n （ y ）}{| バツ - y |} d^{3} バツ d^{3} y = \frac{1}{2} \int V_{H} （ バツ ） n （ バツ ） d^{3} バツ

$E_H = {1\over 2} \int {n({\bf x}) n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 x d^3 y = {1\over 2} \int V_H({\bf x}) n({\bf x}) d^3 x$

ザ・

という用語は、有効正味中性の電荷密度を行う（それは既に中性であるので、次に、すべてが一致している）は、省略されています。

E_{H} = 2 π \sum_{G \neq 0} \frac{| n （ G ） |^{2}}{G^{2}}

$E_H = 2\pi \sum_{{\bf G}\ne 0} {|n({\bf G})|^2\over G^2}$

G = 0

${\bf G}=0$

上記のテスト問題の場合、これは分析的に評価でき、が得られます。

E_{H} = \frac{128}{35 π} = 1.16410 ...

$E_H = {128\over 35\pi} = 1.16410...$

以下は、計算を行うNumPyを使用したプログラムです。

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

そして、ここで（ちょうどプロット収束グラフであるconv.txt上記のスクリプトから、ここであなたはこの自分でプレイしたい場合はそれをしないノートブックがあります）：

FFT収束グラフ

ご覧のように、収束は線形であり、これは私にとって驚きでした。FFTはそれよりはるかに速く収束すると思いました。

更新：

ソリューションの境界には尖点があります（これは以前はわかりませんでした）。FFTが高速に収束するためには、解はすべての微分が滑らかでなければなりません。そこで、次の右側も試しました。

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

$V_H=\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)$ $E_H = \frac{3\pi}{8}$

線形よりも速い収束を見ることができるように、誰かが3Dのベンチマークを知っていますか？

— OndřejČertík
ソース

オンドレイ、滑らかな密度のフーリエ変換はデルタ関数ではありませんか？私はそれを実行するには遅すぎることを認めますが、最初の試行で正確な答えを得るはずです。

— マットネプリー

私はそう思う。しかし、ノートプロットからわかるように、1回の反復で収束しません。何が起こっているのか分かりません。

— オンドレジ・セティク

Ondrej、あなたの実装は正しいですか？大学院の宿題にスペクトルソルバーを実装しようとして、定数を完全に削除しようとしたことを覚えています。計算されたエネルギーと正確なエネルギーの間の絶対距離を見ることで、誤差を測定していることに気付きます。問題の実際の解決策に対する収束はどのように見えますか？これは簡単に計算でき、問題の2次元スライス上にプロットすることもできます。

— アロンアフマディア

Aron ---他のコードに対して実装をチェックしましたが、間違った初期サンプリングをチェックしていたため、両方のコードに同じバグがありました。マットは正しかったのですが、今では最初の試行で収束しました。以下の私の答えをご覧ください。

— オンドジェチェルティク

最初にすべての質問に答えさせてください：

FFTポイズンソルバーの理論上の収束率は？

解が十分に滑らかである限り、理論上の収束は指数関数的です。

このエネルギーはどのくらい速く収束するのでしょうか？

ハートリーエネルギー $E_H$ 十分に滑らかな解を得るには、指数関数的に収束する必要があります。解が滑らかでない場合、収束は遅くなります。

線形よりも速い収束を見ることができるように、誰かが3Dのベンチマークを知っていますか？

周期的で無限に微分可能な解を生成する右側（周期的な境界を含む）は、指数関数的に収束する必要があります。

上記のコードにはバグがあり、指数関数的より収束が遅くなります。スムーズな密度コード（https://gist.github.com/certik/5549650/）を使用して、次のパッチでバグを修正します。

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

問題は、実空間サンプリングが最初と最後のポイント（周期的な境界条件のために同じ値を持つ）を繰り返すことができないことでした。つまり、問題は初期サンプリングの設定にありました。

この修正後、密度は1回の反復で収束します（マットが上で述べたように）。そのため、収束グラフもプロットしませんでした。

ただし、次のように、より難しい密度を試すことができます。

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

予想どおり、収束は指数関数的です。この密度の収束グラフは次のとおりです。ここに画像の説明を入力してください

— OndřejČertík
ソース

驚くばかり。申し訳ありませんが、私はこれ以上助けにはなりませんでした！

— アロンアフマディア