解のヤコビアンが特異な場合のニュートン法の戦略

変数およびx 2（他のすべては定数です）について次の連立方程式を解こうとしています。$P,x_1$$x_2$

$$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$$

x 1とx 2の方程式1と2をそれぞれ解き、方程式3に代入することにより、この連立方程式を単一変数単一方程式に変えることができることがわかります。 matlabのコマンドを使用して解決策を見つけます。パラメーターk 1 = k 2 = 1、r 1 = r 2 = 0.2、およびA = 2を使用すると、真の解はP = x 1 = xであることがわかりました。$(P)$$x_1$$x_2$fzero$k_1=k_2=1$$r_1=r_2=0.2$$A=2$。$P=x_1=x_2=0.5$

ただし、元の3変量-3方程式システムに適用されたニュートンの方法を使用する場合、真の解どれだけ近くても、反復は解に収束しません）= （0.5 、0.5 、0.5 ）。 $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

最初は、ニュートンのメソッドの実装にバグがあると疑っていました。何度か確認したところ、バグは見つかりませんでした。次に、初期推測を使用して、loと見よ：ヤコビアンは特異です。特異なヤコビアンは収束の順序を減らすことができることは知っていますが、必ずしも真の解への収束を妨げるとは思いません。 $x_0=x^*$

だから、私の質問は、真の解のシステムのヤコビアンが特異であることを考えると：

1. ニュートンの方法が根に収束しないことを証明するために、他にどのような条件が必要ですか？

2. グローバリゼーション戦略（例：ラインサーチ）は、特異なヤコビアンにもかかわらず収束を保証しますか？

（1）：これは、解でのヤコビアンのヌル空間でのヤコビアンの導関数の動作に依存します（sic！）。実際には、これらの導関数を計算する人はいません。また、正確な条件を覚えることさえしませんでした。

（2）は機能しますが、収束は線形のみです。

（少なくともほとんどの場合）超線形収束を得るには、テンソル法を使用できます。例：
https
: //cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/インデックス/X5G827367G548327.pdf

ラインサーチの代わりに、NewtonのメソッドをLevenberg-Marquardtアルゴリズムに変更してみてください。Matlabを使用している場合、実装は非常に簡単です。