タグ付けされた質問 「newton-method」

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Newton-Raphson反復を使用せずに非線形PDEを解くことは可能ですか?
私はいくつかの結果を理解しようとしていますが、非線形問題への取り組みに関する一般的なコメントをいただければ幸いです。 フィッシャーの方程式(非線形反応拡散PDE)、 あなたはt= dあなたはx x+ βu (1 − u )= F(u )あなたはt=dあなたはバツバツ+βあなたは(1−あなたは)=F(あなたは) u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u) 離散化された形式で、 あなたは′j= L u + βあなたはj(1 − uj)= F(u )あなたはj′=Lあなたは+βあなたはj(1−あなたはj)=F(あなたは) u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u}) ここで、は微分演算子で、は離散化ステンシルです。u = (u j − 1、u …

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有限差分の近似ヤコビアンは、ニュートン法の不安定性を引き起こすことができますか?
私はpython 3に後方オイラーソルバーを実装しました(numpyを使用)。私自身の便宜と演習として、勾配の有限差分近似を計算する小さな関数を作成しました。これにより、ヤコビアンを常に分析的に決定する必要はありません(可能な場合でも!)。 Ascher and Petzold 1998で提供された説明を使用して、特定のポイントxで勾配を決定するこの関数を作成しました。 def jacobian(f,x,d=4): '''computes the gradient (Jacobian) at a point for a multivariate function. f: function for which the gradient is to be computed x: position vector of the point for which the gradient is to be computed d: parameter to determine perturbation value eps, …

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解のヤコビアンが特異な場合のニュートン法の戦略
変数およびx 2(他のすべては定数です)について次の連立方程式を解こうとしています。P、x1P、バツ1P,x_1バツ2バツ2x_2 A (1 − P)2− k1バツ1= 0A P2− k2バツ2= 0(1 − P)(r1+ x1)4L1− P(r1+ x2)4L2= 0A(1−P)2−k1バツ1=0AP2−k2バツ2=0(1−P)(r1+バツ1)4L1−P(r1+バツ2)4L2=0\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0 x 1とx 2の方程式1と2をそれぞれ解き、方程式3に代入することにより、この連立方程式を単一変数単一方程式に変えることができることがわかります。 matlabのコマンドを使用して解決策を見つけます。パラメーターk 1 = k 2 = 1、r 1 = r 2 = 0.2、およびA = 2を使用すると、真の解はP = x 1 = xであることがわかりました。(P)(P)(P)バツ1バツ1x_1バツ2バツ2x_2fzerok1= k2= 1k1=k2=1k_1=k_2=1r1= r2= 0.2r1=r2=0.2r_1=r_2=0.2A = 2A=2A=2。P= …

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ニュートン・ラフソンを超えて非線形移流拡散システムを解く方法は?
私は、それぞれのソース項を介して2つのadv-diff結合ドメインがあるプロジェクトに取り組んでいます(1つのドメインは質量を加算し、他のドメインは質量を減算します)。簡潔にするために、定常状態でモデル化しています。方程式は、次のようなソース項を持つ標準の移流拡散輸送方程式です。 ∂c1∂t=0=F1+Q1(c1,c2)∂c2∂t=0=F2+Q2(c1,c2)∂c1∂t=0=F1+Q1(c1,c2)∂c2∂t=0=F2+Q2(c1,c2) \frac{\partial c_1}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_1 + \mathcal{Q}_1(c_1,c_2) \\ \frac{\partial c_2}{\partial t} = 0 = \mathcal{F}_2 + \mathcal{Q}_2(c_1,c_2) ここで、は種iの拡散および移流フラックスであり、Q iは種iのソース項です。FiFi\mathcal{F}_iiiiQiQi\mathcal{Q}_iiii Newton-Raphson法を使用して問題のソルバーを記述でき、ブロック質量行列を使用して2つのドメインを完全に結合しました。 Fcoupled=[A100A2][c1,ic2,i]xi−[b1(c1,i,c2,i)b2(c1,i,c2,i)]Fcoupled=[A100A2][c1,ic2,i]⏟xi−[b1(c1,i,c2,i)b2(c1,i,c2,i)] F_{coupled} = \left[\begin{array}{c c} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \\ \end{array}\right]\underbrace{ \left[\begin{array}{c} c_{1,i} \\ c_{2,i} \\ \end{array}\right] }_{x_i} - \left[\begin{array}{c} b_1(c_{1,i}, c_{2,i}) \\ …

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非線形PDEに適用されるニュートン反復
ニュートン反復法を非線形PDEに適用し、完全に陰的なスキームを使用してタイムステップを計算する方法を理解できません。たとえば、バーガース方程式を解きたい あなたt+ u uバツ- Ux x= 0ut+uux−uxx=0u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0 バックワードオイラーを使用して時間を離散化する あなたt= un + 1- Uんhut=un+1−unhu_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} 私たちはそれを見つけます あなたn + 1- Uんh+ un + 1(un + 1)バツ− (un + 1)x x= 0あなたn + 1− h (un + 1)x x+ H Un + 1(un …
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