非線形PDEに適用されるニュートン反復

ニュートン反復法を非線形PDEに適用し、完全に陰的なスキームを使用してタイムステップを計算する方法を理解できません。たとえば、バーガース方程式を解きたい

u_{t} + u u_{x} - u_{x x} = 0

$u_{t} + u u_{x} - u_{xx} = 0$

バックワードオイラーを使用して時間を離散化する

u_{t} = \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h}

$u_{t} = \frac{u^{n+1} - u^{n}}{h}$

私たちはそれを見つけます

\begin{aligned} \frac{u^{n + 1} - u^{n}}{h} + u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} - (u^{n + 1})_{x x} = 0 \\ u^{n + 1} - h (u^{n + 1})_{x x} + h u^{n + 1} (u^{n + 1})_{x} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + h u^{n + 1} D u^{n + 1} = u^{n} \\ (I - h D^{2}) u^{n + 1} + N (u^{n + 1}) = u^{n} (1) \end{aligned}

$\begin{align} &\frac{u^{n+1} - u^{n}}{h} + u^{n+1} (u^{n+1})_{x} - (u^{n+1})_{xx} = 0 \\ &u^{n+1} - h (u^{n+1})_{xx} + h u^{n+1} (u^{n+1})_{x} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + h u^{n+1} D u^{n+1} = u^{n} \\ &(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = u^{n} \ \ \ (1) \end{align}$

ここで、は非線形項を表します（非線形項は暗黙的に記述されていることに注意してください）。ここで、この非線形ODEにニュートン反復法を適用したいのですが、ここで行き詰まっています。 $N$

ニュートン反復を LHSに適用して、項を無視しますか？つまり、ますか？または、用語を含めることになっていますか？（念のために言っておきますが、ニュートン反復を使用した後、完全に暗黙的なスキームを使用してタイムステップを実行したいので、LHS = 0を解決したいと考えています）。 $(1)$ $u^{n}$ $(I - h D^{2}) u^{n+1} + N(u^{n+1}) = 0$ $u^{n}$
次に、ニュートン反復の最初の推測と結果からの情報をどのように処理しますか？この情報を時間ステップでどのように使用しますか？

私が痛々しいほど明白であると確信しているので、私はこの問題にどのように取り組むかについてかなり混乱しています。ニュートン反復法と時間ステッピングを非線形PDE（ただし楕円PDEではない）に適用する方法の詳細な説明を誰かが与えてくれたり、当面の問題を助けてくれたりしたら、とても感謝しています。前もって感謝します。

— マット
ソース

方程式を半離散システムで記述し、法を適用してを近似すると、少しわかりやすくなります。これにより、 $u^{\prime}(t) = F(u(t))$ $\theta$ $u^{\prime}(t) \approx (w^{n+1} - w^{n})/\tau$

w^{n + 1} - w^{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}) = 0

$w^{n+1} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) = 0$

$w^{n+1}$ $\tau$ $u^{\prime}(t)$ $F(u(t))$ $u(t)$ $t$ $\theta$

この方程式は、ニュートン反復法を使用して解くことができます。

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - w^{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - w^{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

ここで、反復インデックスである（）及び $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$ $\nu^0 = w^0$ $\nu^0 = w^0 + \tau F(w^{0})$

— 少年ファレル
ソース

お返事をありがとうございます。私はもっと具体的だったはずですが、実際にはすでにニュートンイテレーションを使用する段階にあり、そのように問題を解決しており、ソリューションのプロットを持っています。しかし、私の主な問題は、その後の時間ステップ方法です。非線形項を「消滅」させ、その後線形ODEを時間ステップしたいと思ったのでしょうか。それとも、ニュートンイテレーションのポイントを完全に逃しましたか？また、ニュートン反復方程式をどのように取得したかについて、段階的な方法を含めていただけますか？多くの質問をしていただき、誠に申し訳ございません。現在、少し苦労しています。

— mattos

ポイントを逃したと思います。非線形方程式を離散化し、反復して（推定値から開始）、方程式を解いて

を与えます

w^{1}

$w^1$

t^{1}

$t^1$

ν

$\nu$

t^{2}

$t^2$

θ = 0

$\theta=0$

詳細についてはp.127 books.google.co.uk/books?isbn=3540034404をご覧ください。私はそれで数値アルゴリズムを実装しました、そしてそれは動作します。

— boyfarrell