Newton-Raphson反復を使用せずに非線形PDEを解くことは可能ですか？

私はいくつかの結果を理解しようとしていますが、非線形問題への取り組みに関する一般的なコメントをいただければ幸いです。

フィッシャーの方程式（非線形反応拡散PDE）、

{あなたは}_{t} = d {あなたは}_{バツ バツ} + β あなたは （ 1 - あなたは ） = F （ あなたは ）

$u_t = du_{xx} + \beta u (1 - u) = F(u)$

離散化された形式で、

{あなたは}_{j}^{'} = L あなたは + β {あなたは}_{j} （ 1 - {あなたは}_{j} ） = F （ あなたは ）

$u_j^{\prime} = \boldsymbol{L}\boldsymbol{u} + \beta u_j (1 - u_j) = F(\boldsymbol{u})$

ここで、は微分演算子で、は離散化ステンシルです。 $\boldsymbol{L}$ $\boldsymbol{u}=(u_{j-1}, u_j, u_{j+1})$

方法

安定性と無制限のタイムステップが必要なため、暗黙的なスキームを適用したいと思います。この目的のために、私は -method を使用しています（は完全に暗黙的なスキームを提供し、は台形または「クランクニコルソン」スキームを提供します）。 $\theta$ $\theta=1$ $\theta=0.5$

u_{j}^{'} = θ F (u^{n + 1}) + (1 - θ) F (u^{n} ）

$u_{j}^{\prime} = \theta F(\boldsymbol{u}^{n+1}) + (1-\theta) F(\boldsymbol{u}^{n})$

ただし、非線形問題の場合、方程式を線形形式で記述できないため、これを行うことはできません。

この問題を回避するために、2つの数値的アプローチを検討しました。

IMEXメソッド

${あなたは}_{j}^{'} = \underset{θ - method diffusion term}{\underset{⏟}{θ L {あなたは}^{n + 1} + （ 1 - θ ） L {あなたは}^{n}}} + \underset{Fully explicit reaction term}{\underset{⏟}{β u_{j}^{n} (1 - u_{j}^{n})}}$ $u_j^{\prime} = \underbrace{\theta\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n+1}} + (1-\theta)\boldsymbol{L}\boldsymbol{u^{n}}}_{\theta-\text{method diffusion term}} + \underbrace{\beta u_j^{n} (1 - u_j^{n})}_{\text{Fully explicit reaction term}}$
最も明白なルートは、反応項の非線形部分を無視し、可能な限り最高の値、つまり前の時間ステップからの値で反応項を更新することです。これにより、IMEXメソッドが作成されます。
ニュートンソルバー

ν^{k + 1} = ν^{k} - (I - θ τ A^{n})^{- 1} (ν^{k} - u_{n} - (1 - θ) τ F (w^{n}) - θ τ F (w^{n + 1}))

$\nu^{k+1} = \nu^{k} - (I - \theta\tau A^{n})^{-1} \left( \nu^{k} - u_{n} - (1-\theta) \tau F(w^n) - \theta\tau F(w^{n+1}) \right)$

完全なメソッドの方程式は、ニュートンラプソンの反復を使用して解くことで、将来の解変数を見つけることができます。ここで、は反復インデックス（）で、はヤコビ行列です。ここでは、反復変数にシンボルを使用して、リアルタイムポイント方程式の解と区別されるようにします。ヤコビアンは反復ごとに更新されないため、これは実際には修正ニュートンソルバーです。 $\theta$ $k$ $k\geq0$ $A^{n}$ $F(w^n)$ $\nu^{k}$ $u^n$

結果

数値的手法のフィッシャーの方程式比較。

上記の結果は、かなり大きなタイムステップに対して計算され、タイムステップアプローチと完全なニュートン反復ソルバーの違いを示しています。

わからないこと：

タイムステップメソッドが「OK」であることに驚いていますが、時間が経つにつれて、最終的に分析ソリューションに遅れをとることになります。（注意：より小さな時間ステップを選択した場合、時間ステップアプローチは結果を分析モデルに近づけます）。タイムステップアプローチが非線形方程式に合理的な結果を与えるのはなぜですか？
ニュートンモデルの方がはるかに優れていますが、時間が経つにつれて分析モデルをリードし始めます。ニュートンアプローチの精度が時間とともに低下するのはなぜですか？精度を改善できますか？
多くの反復の後、数値モデルと分析モデルが発散し始めるという一般的な機能があるのはなぜですか？これは、単にタイムステップが大きすぎるためですか、それとも常に発生しますか？

— ボーイファレル
ソース

Hairer /Nørsett/ WannerなどのODEソルバーの基本的なエラー解析と、安定性解析の一部を読むことをお勧めします。その後、ほとんどの質問に答えます。

— グイドカンシャット

@boyfarrell、仲間の読者の混乱を避けるために、あなたはあなたの方法を説明する場所に用語を正しく置くべきです：2.これは標準の -schemeです。通常、更新を解くにはニュートンの方法が必要です

θ

$\theta$

— 1

こんにちは@Jan私はすべてを得たと思います。ご協力ありがとうございます。

— -boyfarrell

回答:

私は、あなたが空間離散化を行ったことを想定します（ベクトル値）ODE解く程度であるよう現在の時間インスタンスで近似を次の値進める数値スキームを介して

{\dot{u}}_{h} (t) = F_{h} (t, u_{h} (t)), on [0,T], u_{h} (0) = α .

$\dot u_h(t) = F_h(t,u_h(t)), \text{ on [0,T] }, u_h(0) = \alpha.$

Φ

$\Phi$

u_{h}^{n}

$u_h^n$

t = t^{n}

$t=t^n$

で

。

u_{h}^{n + 1}

$u_h^{n+1}$

t = t^{n + 1} := t^{n} + τ

$t=t^{n+1}:=t^n+\tau$

その後、ご質問は、のプロパティを参照明示的な更新として書き込み、

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{e} (t^{n}, τ, u_{h}^{n}),

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_e(t^n,\tau,u_h^n),\quad \quad \quad$

暗黙のように書かれた

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ_{i} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}), (*)

$u_h^{n+1} = u_h^n + \Phi_i(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n), \quad \quad \quad (*)$

または両方の組み合わせ（「IMEX」、@ Jed Brownの回答を参照）シングルステップタイムステッピングスキーム。

このセットアップでは、ニュートン法は、から生じるシステムでの非線形性を解くためのアプローチです。 $u_h^{n+1}$ $(*)$

そして、私の答えは、シングルステップ法の数値解析の結果に基づいています。

収束スキームに関して収束スキームを使用する場合、暗黙スキームを使用する一般的な利点はありません（2.を参照）。ただし、ラプラシアンを含むシステムなどのスティッフなシステムの場合、時間ステップの制限なしに安定した暗黙のスキームがあります。それでも、理論的には、明示的なスキームでは、方程式自体が安定している限り（たとえば、2番目の引数でがLipshitzの場合、Picard-Lindelof定理を参照）、より小さな時間ステップでより良い結果が得られます。タイムステップは小さすぎません。 $F_h$
明示的なスキームの方がパフォーマンスが良い例を見つけることができます。（理論的には、例の時間を反転し、最終値から開始し、暗黙的および明示的な交換を見つけることができます。）ニュートン誤差を十分に小さくしても、時間ステップを減らすか時間を使用することで精度を向上できます-高次のステッピングスキーム。
グローバルエラーのエラー推定値の定数は、時間間隔の長さとともに指数関数的に増加します。たとえば、明示的なオイラースキームについては、こちらをご覧ください。これは、すべてのシングルステップメソッドに当てはまります。推定値は型であるように、、小さい時間ステップこれだけ効果を延期します。 $C$ $err \approx C \tau^p$ $p>0$ $\tau$

さらにいくつかの発言と最終回答：

IMEXスキームを使用して、非線形解を回避する線形部分のみを暗黙的に処理できます。Jed Brownの答えをご覧ください。
$u_{h}^{n + 1} = Φ_{m} (t^{n}, τ, u_{h}^{n + 1}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n - 1}) .$ $u_h^{n+1} = \Phi_m(t^n,\tau,u_h^{n+1},u_h^n,u_h^{n-1}).$

$(*)$

— ヤン
ソース

はい、標準の中央差分ステンシルを拡散項に適用しました。安定した時間ステップが非現実的に小さいため、（解決したい実際の問題に対して）明示的なスキームを使用できません。これが、IMEXまたは暗黙的なオプションを検討している理由です。3番目の点に関して、エラーの蓄積を避けるために、マルチステップメソッドを使用する必要があります。上記で使用したCrank-Nicolsonスキーム（Newtonソルバーを使用）は、マルチステップメソッドとして分類されていますか（2つの時点があります）？ニュートンソルバー法を使用すると、時間の経過とともにエラーが増加することに驚きました。

— -boyfarrell

u_{h}^{n + 1} = u_{h}^{n} + Φ (t^{n}, τ^{n}, u_{h}^{n}, u_{h}^{n + 1})

$u_h^{n+1}=u_h^n + \Phi(t^n,\tau^n,u_h^n,u_h^{n+1})$

CNメソッドについて説明してくれてありがとう。はい、なぜマルチステップメソッドの誤差の蓄積が少ないように見えるのか興味深いです。ニュートンソルバーにエラーが蓄積される理由は、シングルステップメソッドであるためです。ところで、私はあなたがPythonが好きであることを知っています。私はscipy、numpy、matplotlib、gist.github.com

— danieljfarrell / 6353776

Trefethen et。による論文へのリンクを削除しました。al。IMEXスキームについて学ぶためのより良い参照があるので、私の答えからの高次IMEX統合について。

— 2013

短い答え

2次精度のみを組み込み、エラー推定を組み込みたくない場合は、Strang splittingに満足する可能性があります：反応の半段階、拡散の全段階、反応の半段階。

長い答え

反応拡散は、線形反応でも、分割エラーを示すことで有名です。実際、不正確な定常状態への「収束」、リミットサイクルの定常状態の誤り、安定した構成と不安定な構成の混同など、さらに悪化する可能性があります。これに関する計算物理学者の視点については、Ropp、Shadid、およびOber（2004）およびKnoll、Chacon、Margolin、およびMousseau（2003）を参照してください。順序条件に関する数学者の分析については、硬いODEに関するヘアーとワナーの本（Rosenbrock-Wの方法は線形に暗黙のIMEXの方法です）、Kennedy and Carpenter（2003）に非線形の暗黙のIMEXの「加算」ルンゲクッタを参照してください。より新しいIMEXメソッドについては、Emil Constantinescuのページをご覧ください。

一般に、IMEXメソッドには、基礎となる暗黙的および明示的なメソッドのみよりも多くの順序条件があります。IMEXメソッドペアは、目的の線形および非線形安定性で設計できるため、メソッドの設計次数までのすべての次数条件を満たすことができます。すべての順序条件を満たせば、各スキームの誤差と同じスケールの漸近的分割誤差が個別に保持されます。事前漸近レジーム（大きな時間ステップ/低精度要件）については何も述べていませんが、各パーツを個別に解決するよりも厳しいことはめったにありません。いずれの場合でも、分割誤差は組み込み誤差推定器に見えます（適応誤差制御を使用する場合）。

PETScには、Rosenbrock-Wおよび加法Runge-Kuttaファミリの多くのIMEXメソッドがあり、次のリリースでは外挿および線形マルチステップIMEXがあります。

免責事項：私はPETSc時間統合サポートの多くを書き、Emil（上記リンク）と協力しています。

— ジェド・ブラウン
ソース

私は確かに物理学の観点からこれにアプローチしているので、多くの用語に精通していないので、すべての技術的な詳細を理解するには時間がかかります。私は実際に実験家です！注文条件についてもう少し説明していただけますか？IMEXはこれらのマルチステップメソッドをJanが言及していますか？

— -boyfarrell

次数条件は、精度の次数を得るために満たさなければならないODEメソッドの係数間の関係（たとえば、ルンゲクッタメソッドのブッチャータブローのエントリ）です。注文条件は、ODE統合方法を設計する本や論文で説明されていますが、基本的には、テイラー展開で微分とマッチング項を繰り返し適用することになります。高次メソッドでは、次数条件の数が急速に増加するため、高次メソッドの設計が難しくなります。障壁は、注文条件が相互に互換性がないことを示すことによって確立されます。

— ジェドブラウン