わずかに振動するシリーズを高精度に計算しますか？

私は、次の興味深い機能を有していると仮定：微分が有理倍数で連続していないなど、不快な特性があります。閉じたフォームが存在しないと思われます。

f (x) = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} .

$f(x) = \sum_{k\geq1} \frac{\cos k x}{k^2(2-\cos kx)}.$

π

$\pi$

部分和の計算とリチャードソンの外挿を使用して計算できますが、問題は、十分な数の小数桁（たとえば、100が望ましい）に関数を計算するには遅すぎることです。

この機能をよりうまく処理できる方法はありますか？

ここでのプロットだいくつかの成果物と： $f'(\pi x)$

$関数の導関数、$ f '（\ pi x）$$

convergence extrapolation

— キリル
ソース

たぶん、

という事実を使用できます。ここで、

はチェビシェフ多項式です。その後、合計は一連の有理多項式のように見え始めます。その後、チェビシェフ基底で有理多項式に変換できる場合、非常に効率的な方法で合計できます。チェビシェフの多項式と基底に精通していない場合、Cの数値レシピには、次の優れた入門書があります。www2.maths.ox.ac.uk / chebfun / ATAP / ATAPfirst6chapters.pdf

c o s (k x) = T_{k} (x)

$cos(kx) = T_k(x)$

T_{k} (x)

$T_k(x)$

— Jay Lemmon

ええ、それは言う必要があります

c o s (k x) = T_{k} (c o s (x))

$cos(kx) = T_k(cos(x))$

— ジェイレモン14年

@JayLemmonそのリンクをありがとう。私は見て、それが役立つかどうかを確認します。

— キリル14年

私はこのパーティーに少し遅れて参加していますが、リチャードソンの外挿の代わりにパデ近似、すなわち

アルゴリズムを使用してみましたか？

ε

$\varepsilon$

— ペドロ14

高度に振動する積分の場合と同様に、振動部分と非振動部分の分離に関する知識がなくても、良い仕事ができるとは思いません。このような分離がある場合、フーリエ級数の答えは簡単な指数関数的収束を提供します。

— ジェフリーアーヴィング14

回答:

分析手法が許可されていないが、周期構造がわかっている場合は、1つのアプローチがあります。してみましょう周期で周期的である、その結果、ここで

g (x) = \frac{\cos x}{2 - \cos x}

$g(x) = \frac{\cos x}{2-\cos x}$

2 π

$2 \pi$

g (x) = \sum_{j} w_{j} e^{i j x}

$g(x) = \sum_j w_j e^{ijx}$

したがって、

w_{j} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} g (x) e^{- i j x} d x

$w_j = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g(x) e^{-ijx} dx$

積分

直接近似するか、

値の束を計算してDFTを使用できます。どちらの場合でも、リチャードソンの外挿を結果に適用できます。あなたの場合、

は

近傍内で解析的であるため、最終系列はリチャードソンがなくても指数関数的に収束します。

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{g (k x)}{k^{p}} \\ = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^{p}} \sum_{j} w_{j} e^{i j k x} \\ = \sum_{j} w_{j} \sum_{k \geq 1} \frac{{(e^{i j x})}^{k}}{k^{p}} \\ = \sum_{j} w_{j} {Li}_{p} (e^{i j x}) \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{g(kx)}{k^p} \\ &= \sum_{k \ge 1} \frac{1}{k^p} \sum_j w_j e^{ijkx} \\ &= \sum_j w_j \sum_{k \ge 1} \frac{\left(e^{ijx}\right)^k}{k^p} \\ &= \sum_j w_j \operatorname{Li}_p(e^{ijx}) \end{aligned}$

w_{j}

$w_j$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

R

$\mathbb{R}$

— ジェフリーアーヴィング
ソース

g (x) = \cos (x) / (2 - \cos (x))

$g(x) = \cos(x) / (2 - \cos(x))$

$x = 2\pi a/b$ $a,b$

\begin{aligned} f (x) & = \sum_{k \geq 1} \frac{\cos k x}{k^{2} (2 - \cos k x)} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \sum_{n \geq 0} \frac{1}{(k + b n)^{2}} \\ = \sum_{k = 1}^{b} \frac{\cos k x}{2 - \cos k x} \frac{ψ^{1} (k / b)}{b^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} f(x) &= \sum_{k \ge 1} \frac{\cos {kx}}{k^2 (2 - \cos {kx})} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \sum_{n \ge 0} \frac{1}{(k+bn)^2} \\ &= \sum_{k=1}^b \frac{\cos {kx}}{2-\cos {kx}} \frac{\psi^1(k/b)}{b^2} \end{aligned}$

ψ^{1} (z)

$\psi^1(z)$ シリーズの値と導関数

— ジェフリーアーヴィング
ソース

ありがとうございました。問題は、この特定の関数を、実際に評価したい別のより複雑な関数のモデルとして選択したことです。同じような機能を備えていますが、実際には同じではありません。私は、MSEに関するこの質問からの閉じたフォームを知っています。これは、閉形式なしで無限級数を数値的に合計することについての質問として意味しました。

— キリル14

他の答えの方がいいかもしれませんか？

— ジェフリーアーヴィング14

どの程度レビンU-変換？Fortanコードに加えて、中にいくつかのバージョンがあるGSL：`gsl_sum_levin_uは、*」。MatlabのMuPADとMapleはこのスキームを使用します。

— ホーラー
ソース

試しましたが、リチャードソンの外挿法の方が正確であることがわかりました。

— キリル