PDEの数値解が連続解に収束しているかどうかを判断する方法は？

ラックスの等価定理は、直線状の初期値問題の数値スキームの一貫性と安定性が収束するための必要十分条件である状態。しかし、非線形問題の場合、一貫性があり安定しているにもかかわらず、数値的手法は誤った結果に非常に合理的に収束する可能性があります。たとえば、このホワイトペーパーでは、1次元線形化浅水方程式に適用された1次ゴドノフ法が、不正解にどのように収束するかを示しています。

メッシュと時間ステップの洗練の下で明らかに自己収束は十分ではありませんが、正確な解は一般に非線形PDEには利用できません。

pde stability convergence

— ジェド・ブラウン
ソース

いわゆる製造方法のソリューションにより、すべての問題に対して正確なソリューションが利用可能になります。あなたが説明するような問題のある解決策を生成することはできないかもしれませんが、正確な解決策が利用できないことはありません。

— ビル・バルト

解法ではうまく近似されないような不連続性のある解を推測する必要があるため、ここでは難しいと思います。

— マットネプリー

私は、Jedが言及している問題のあるモードを刺激するソリューションを製造することは難しいと思われることに同意します。正確なソリューションが常にテストに利用可能であることを指摘したかっただけです。たとえば、トリガー関数と指数関数の組み合わせ（MoMの正確な解の典型）を使用して1D線形化浅水方程式の解を作成し、クランクを回して対応するソース項を取得し、実行するとどうなるかわかりませんそれらを1次Godunovスキームを通して。たぶん、ジェドはそれを試して報告することができます。

— ビル・バルト

MoMは優れたツールですが、この場合、問題は拡散がショック内で誤って適用されることです。他のどこでも、各方程式でゼロに収束する拡散は等しく許容されますが、拡散はショック内でゼロに収束しないため、各項に数値拡散を適用すると、ダイナミクスが不正確になります。誰も私に打ち負かさない限り、時間があればこの質問に対する長い答えを書きます。

— ジェッドブラウン

@ Jed、LETは線形化された方程式に適用すべきではありませんか？

— マットネプリー

回答:

この点については、2つの主要なソリューションクラスについて説明します。

「十分に」スムーズなソリューション

ストラングの古典的な論文にはラックスの等価定理（すなわち、一貫プラス安定性が収束することを意味するという考えは）、非線形PDE溶液に延びていることが示され、それらが連続誘導体の特定の数を有する場合。論文は双曲線問題に焦点を合わせているが、結果は放物線問題に引き継がれることに注意してください。必要な導関数の数は技術的なポイントですが、このアプローチは通常、強い意味でPDEを満たすソリューションに適用できます。

不連続なソリューション

他の極端な場合、不連続な PDE "解"があります。これは通常、非線形双曲線保存則から生じます。もちろん、この状況では、解は1つ以上の点で微分不可能であるため、強い意味でPDEを満たすとは言えません。代わりに、弱い解の概念を導入する必要があります。これは本質的に、解が積分保存則を満たすことを要求することになります。

$L_p$ $L_\infty$

シーケンスが何かに収束することが示され、メソッドが保守的である場合、Lax-Wendroffの定理は、保存則の弱い解に収束することを保証します。ただし、このようなソリューションは一意ではありません。どの弱解が「正しい」かを判断するには、双曲線PDEに含まれていない情報が必要です。一般に、双曲線PDEは、連続体モデルの放物線項を無視することで取得され、正しい弱い解は、放物線項が破棄されたものに正確に依存します（この最後の点は、上記の質問でリンクされた論文の焦点です）。

これは豊富で複雑なトピックであり、数学的理論は完全にはほど遠いです。ほとんどの収束証明は1D問題用であり、特殊な手法に依存しています。したがって、実際の双曲線保存則の実際の計算解のほぼすべては、既存のツールと収束することは証明できません。計算の観点からの実際的な議論については、LeVequeの本（8章、12章、および15章）を参照してください。より厳密で詳細な治療については、ダファーモスをお勧めします。

— デビッド・ケッチャソン
ソース

ここで、数値法が双曲線方程式に問題を抱えている（そして間違った解に収束する）ときはいつも、ショックが原因ではないことを指摘する以外に、ここで貢献することはほとんどありません。むしろ、彼らがそれを困難にしている領域は希薄波であり、解決策は滑らかです。

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— ウルフギャング・バンガース
ソース

これは優れた点ですが、厳密な意味で質問に直交しています。正しい弱い解決策への収束の問題に対処します。これは実際には、いくつかの弱い解決策への収束の問題よりも実際問題です。

— デビッドケッチャソン