右側がのみの場合の有限要素法の収束（ポアソン方程式）

私が知っている、区分的線形有限要素近似の 満たす は、Uが十分滑らかでf ^ in L ^ 2（U）である場合に限ります。$u_h$

$$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$$ $$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$$ $U$$f\in L^2(U)$

質問：もし$f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$、我々は1つの誘導体が両側に奪われている以下の類似の推定値を、持っています：

$$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$$

参照を提供できますか？

考え：私たちはまだu \ in H ^ 1_0（U）を持っているので$u\in H^1_0(U)$、L ^ 2（U）で収束を得ることができるはず$L^2(U)$です。直感的には、これは区分定数関数でも可能です。

はい、これは標準のAubin-Nitsche（または双対性）トリックです。アイデアは、が独自の二重空間であるという事実を使用して、ノルムを演算子ノルムとして 記述することです。 したがって、任意のに対してを推定する必要があります。これを行うには、まず任意のの双対問題の解を 検討することにより、をに「持ち上げ」ますL 2 ‖ U ‖ L 2 = SUP φ ∈ L 2 ∖ { 0 }（U 、φ $L^2$$L^2$（U-UH、φ）φ∈L2U-UHH 1 0 φ∈L2、Wφ∈H 1 0（∇ W φ、∇ V ）= （φ 、V

$$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ $(u-u_h,\phi)$$\phi\in L^2$$u-u_h$$H^1_0$$\phi\in L^2$$w_\phi\in H^1_0$‖Wφ‖ H 2 ≤C‖φ‖ L 2 $$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$$ ポアソン方程式の標準的な規則性を使用すると、であることがわかり $$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$$

を挿入し、任意の有限要素（この場合、区分的線形）関数にガラーキン直交性を使用すると、推定 これはすべてのので、すべての区分的線形最小値を取る場合でも不等式は真です。したがって、 （1）W H （φ 、U - U H$v=u-u_h\in H^1_0$$\eqref{eq1}$$w_h$

$$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$$ $w_h$$w_h$ $$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$$ これはAubin-Nitsche-Lemmaです。

次のステップは、標準誤差推定を使用して、ポアソン方程式の解の最良の有限要素近似を行うことです。はのみ存在するので、よりも良い見積もりは得られません しかし幸いにも、右側のはではなく方が規則性が高いという事実を使用できます。この場合、 の挿入とに$u$$H^1$

$$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$$ $w_\phi$$\phi\in L^2$$H^{-1}$（3）（4） $$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$$ $\eqref{eq3}$$\eqref{eq4}$$\eqref{eq2}$は、目的の推定を生成します。

（標準推定では、有限要素近似の多項式次数と真の解のソボレフ指数が満たす必要があることに注意してください。したがって、この引数は区分定数（）近似では機能しません。また、その -つまり、適合近似があります-これは区分定数には当てはまりません。）M 、M < K + 1 、K = 0 U - U H ∈ H 1 $k$$m$$m<k+1$$k=0$$u-u_h\in H^1_0$

参照を求めたので、定理5.8.3（定理5.4.8とともに）のステートメント（負のソボレフスペースではなくでも）を見つけることができます。 L $H^{-s}$$L^2$

スザンヌC.ブレンナーとL.リッジウェイ・スコット、MR 2373954 有限要素法の数学的理論、応用数学のテキスト ISBN：978-0-387-75933-3。