右側がのみの場合の有限要素法の収束(ポアソン方程式)


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私が知っている、区分的線形有限要素近似の 満たす は、Uが十分滑らかでf ^ in L ^ 2(U)である場合に限ります。uh

Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on U
uuhH01(U)ChfL2(U)
UfL2(U)

質問:もしfH1(U)L2(U)、我々は1つの誘導体が両側に奪われている以下の類似の推定値を、持っています:

uuhL2(U)ChfH1(U)?

参照を提供できますか?

考え:私たちはまだu \ in H ^ 1_0(U)を持っているのでuH01(U)L ^ 2(U)で収束を得ることができるはずL2(U)です。直感的には、これは区分定数関数でも可能です。


uuh0Chuuh1は、u \ in H ^ 1の場合でも、標準のNitscheトリックから得られると思いますuH1。これは、例えばBraess-Finite elementsにあります。
knl 2017

回答:


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はい、これは標準のAubin-Nitsche(または双対性)トリックです。アイデアは、が独自の二重空間であるという事実を使用して、ノルムを演算子ノルムとして 記述することです。 したがって、任意のに対してを推定する必要があります。これを行うには、まず任意のの双対問題の解を 検討することにより、をに「持ち上げ」ますL 2U L 2 = SUP φ L 2{ 0 }U φ L2L2U-UHφφL2U-UHH 1 0 φL2、WφH 1 0W φV = φ V

uL2=supϕL2{0}(u,ϕ)ϕL2.
(uuh,ϕ)ϕL2uuhH01ϕL2wϕH01Wφ H 2Cφ L 2
(1)(wϕ,v)=(ϕ,v)for all vH01.
ポアソン方程式の標準的な規則性を使用すると、であることがわかり
wϕH2CϕL2.

を挿入し、任意の有限要素(この場合、区分的線形)関数にガラーキン直交性を使用すると、推定 これはすべてのので、すべての区分的線形最小値を取る場合でも不等式は真です。したがって、 (1)W H φ U - U Hv=uuhH01(1)wh

(ϕ,uuh)=(wϕ,(uuh))=(wϕwh,(uuh))CuuhH1wϕwhH1.
whwh
(2)uuhL2=supϕL2{0}(uuh,ϕ)ϕL2CuuhH1supϕL2{0}infwhwϕwhH1ϕL2.
これはAubin-Nitsche-Lemmaです。

次のステップは、標準誤差推定を使用して、ポアソン方程式の解の最良の有限要素近似を行うことです。はのみ存在するので、よりも良い見積もりは得られません しかし幸いにも、右側のはではなく方が規則性が高いという事実を使用できます。この場合、 の挿入とにuH1

(3)uuhH1infvhuvhH1cuH1CfH1.
wϕϕL2H1(3)(4)(2)
(4)infwhwϕwhH1chwϕH2ChϕL2
(3)(4)(2)は、目的の推定を生成します。

(標準推定では、有限要素近似の多項式次数と真の解のソボレフ指数が満たす必要があることに注意してください。したがって、この引数は区分定数()近似では機能しません。また、その -つまり、適合近似があります-これは区分定数には当てはまりません。)M 、M < K + 1 、K = 0 U - U HH 1 0kmm<k+1k=0uuhH01

参照を求めたので、定理5.8.3(定理5.4.8とともに)のステートメント(負のソボレフスペースではなくでも)を見つけることができます。 L 2HsL2

スザンヌC.ブレンナーとL.リッジウェイ・スコット、MR 2373954 有限要素法の数学的理論応用数学のテキスト ISBN:978-0-387-75933-3。


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そして、私は光沢のある新しい引用機能を利用できるようになります:)
Christian Clason

回答ありがとうございます。ただし、は連続関数が組み込まれていませんか?H01
バナナッチ2017

はい、申し訳ありません、私はそこを撫でました-それらは密集していますが、埋め込まれていません。双対性の引数は同じように機能します(と直接処理するだけです)。それに応じて回答を編集します。 H 1H01H1
クリスチャンクラソン2017

広範な更新をありがとう。そして、別のピカピカの引用を見つけるため
バナナハ

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@Praveenここでは理論は必要ないと思います。単純にを定数ゼロに選択します。vh
2017
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