数値的に弱い収束はどのように感じますか？

無限次元のヒルベルト空間またはバナッハ空間に問題があり（PDEまたはそのような空間における最適化の問題だと考えて）、解に弱く収束するアルゴリズムがあるとします。問題を離散化し、対応する離散化アルゴリズムを問題に適用する場合、弱い収束はすべての座標での収束であり、したがって強い収束でもあります。私の質問は：

この種類の強い収束は、元の無限アルゴリズムの古き良き単純な強い収束から得られた収束とは異なると感じますか？

または、より具体的に：

「離散化された弱収束法」では、どのような悪い動作が発生する可能性がありますか？

私自身は通常、弱い収束しか証明できないときはあまり満足していませんが、これまでは、問題を離散化した問題をより高い次元にスケーリングしても、メソッドの結果に関する問題を観察できませんでした。

「最初の離散化より最適化」の問題と「最初の最適化より離散化」の問題には興味がなく、問題とすべてのプロパティを共有しない離散化問題にアルゴリズムを適用した場合に発生する可能性のある問題を認識しています。アルゴリズムの設計対象。

更新：具体的な例として、変数の最適化問題を検討し、それを（慣性）前方後方分割のようなもの、または弱い収束のみが知られている他の方法で解決します。離散化された問題では、同じ方法を使用できます。アルゴリズムを直接離散化した場合は、正しい離散化で同じアルゴリズムが得られます。離散化の精度を上げると、何が問題になるのでしょうか？$L^2$$L^2$

弱い収束として連続極限で最も重要であることは事実である（観察することができないことにより、例えば任意の収束速度を）。少なくともヒルベルト空間では、制限の非一意性に密接に関連しているため、その後の収束（たとえば、異なる制限点への接近と、レートの破棄を交互に行うことができる場合）のみに関連しており、影響を分離することは困難です。収束に関する2つ。$h\to 0$

特に弱い収束の場合、収束がポイントワイズである必要がないという事実もあり、これは（十分に細かい）離散化で実際に観察できます。ここでminimizersのシーケンスからの例です{ U ε } ε > 0として収束することε → 0の U （X ）= { - 1 、X < $L^2$$\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$$\varepsilon\to 0$ 収束は弱いが、[

$$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$$ （ただし、他のほとんどすべての点で）。次の図は、シーケンスの3つの代表的な要素を示しています（εはすでに非常に小さいため）。$[\frac13,\frac23]$$\varepsilon$

この現象は、微分方程式のバンバン制御問題（つまり、ほとんどすべての場所で下限または上限のいずれかに到達するボックス制約の問題）の近似において「チッター」として知られています。

（この特定の例は、楕円システムのマルチバン制御に関する論文、Ann。HenriPoincaré（C）2014、1109-1130、備考4.2から引用されています。）

同じ一連のソリューションの場合、ある基準での収束が弱いと別の基準での収束が強いことを意味する可能性があるため、あなたが尋ねる質問は、あまり実用的な問題ではありません。

一例として、標準有限要素を使用して、凸状の多角形ドメインで十分に滑らかな右辺をもつラプラス方程式を解くことを想定します。次に、解はH 2にありますが、もちろん有限要素解u hは$u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightarrow u$$L_2$$H^1$$h\rightarrow 0$$\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$$\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

しかし、はのみするため、では強く期待できません。しかし、では弱い可能性があります（実際、私はそれが成り立つと思います）。これはおそらく、などのステートメントを意味します。 $u_h \rightarrow u$$H^2$$u_h$$H^1$$u_h \rightharpoonup u$$H^2$

$$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$$

重要なのは、弱い収束と強い収束の問題は、通常、どの基準を見ているかという問題であり、メソッドから得られる一連のソリューションの特性ではないということです。