完全に閉じたノイマン境界条件（境界での反射）を伴う有限差分によって移流方程式を解くときの奇妙な振動

私は移流方程式を解こうとしていますが、境界から波が反射すると、解に奇妙な振動が現れます。私が原因とその回避方法を知りたいと思う前に誰かがこの人工物を見たなら！

これはアニメーションGIFで、別のウィンドウで開いてアニメーションを表示します（キャッシュされているのは一度だけ再生されるか、一度に再生されないかです！）

波が最初の境界から反射し始めるまで、伝播は非常に安定しているように見えることに注意してください。ここで何が起こると思いますか？数日かけてコードを再確認しましたが、エラーが見つかりません。奇妙なのは、2つの伝播ソリューションがあるように見えることです。1つはポジティブなソリューションで、もう1つはネガティブなソリューションです。最初の境界からの反射後。ソリューションは、隣接するメッシュポイントに沿って移動しているようです。

実装の詳細は次のとおりです。

移流方程式

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

ここで、は伝播速度です。$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolsonは、が空間でゆっくりと変化する（フーリエ変換時に低周波数成分のみを含む場合、移流方程式の無条件（pdfリンク）の 安定した離散化です。$u(x)$

私が適用した離散化は、

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

未知数を右側に配置すると、これを線形形式で記述することができます。

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

ここで（均等現在および将来の点との間に加重時間平均を取ること）及び。、R = V Δ $\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

これらの方程式のセットの行列形式は、。ここで、$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

ベクトルおよびは、解決したい量の既知および未知です。u n + $u^n$$u^{n+1}$

次に、左右の境界に閉じたノイマン境界条件を適用します。閉じた境界とは、両方のインターフェースでを意味します。閉じた境界の場合、ここでの作業は示しませんが、上記の行列方程式を解くだけでよいことがわかります。@DavidKetchesonが指摘したように、上記の行列方程式は実際にディリクレ境界条件を記述しています。ノイマン境界条件の場合、$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

更新

動作は、使用する定数の選択とはかなり独立しているように見えますが、上記のプロットの値は次のとおりです。

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0.2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2（ガウスhwhm）
• $\beta$ = 0.5

アップデートII

ゼロ以外の拡散係数のシミュレーション（下記のコメントを参照）、振動は消えますが、波は反射しなくなりました！？理由がわかりませんか？$D=1$

解く方程式は、正解を許可しないため、この方程式には境界条件を反映するようなものはありません。特性を考慮すると、正しい境界にのみ境界条件を課すことができることに気付くでしょう。左境界に均一なディリクレ境界条件を課そうとしていますが、これは数学的に無効です。

繰り返しに：特徴の方法は、溶液は、フォームの任意の線に沿って一定でなければならないことを述べている任意定数の。したがって、左境界に沿った解は、問題領域内の以前の解によって決定されます。そこでソリューションを課すことはできません。$x-\nu t = C$$C$

方程式とは異なり、数値スキームは正しい解決策を受け入れます。右方向モードは寄生モードと呼ばれ、非常に高い周波数を伴います。右向きの波は鋸歯状波パケットであり、グリッドで表現できる最高周波数に関連付けられています。その波は、離散化によって作成された純粋に数値的なアーチファクトです。

強調：解決しようとしている初期境界値の問題を完全に書き留めていない。そうした場合、それは数学的に適切な問題ではないことが明らかになります。

ただし、ここに投稿したのはうれしいことです。これは、適切に設定されていない問題を離散化したときに何が起こるか、寄生モードの現象の美しい例だからです。私からの質問に対する大きな+1。

上記の答えから多くのことを学びました。この答えを含めたいのは、問題に対するさまざまな洞察を提供できると思うからです。

方程式考えてみましょう。 一定の波速度。

$$\begin{eqnarray} u_{xx} + \frac{1}{c} u_{tt} = 0. \end{eqnarray}$$ $c$

初期条件および境界条件がない場合、この方程式にはという形式の解があり ます。（右に移動するパルス）$u(x,t)=f(x-ct)$

初期条件を課す場合、区間の方程式の解はです。境界はなく、それが解決策です。$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

ここで、すべてのコンピューターのメモリが制限された後、境界ドメインを定義すると仮定します。その後、我々は時の値を指定する必要がありとそれ以外の場合は、計算上、我々が立ち往生しています、。$x \in [a,b]$$a$$b$

境界条件を定義する1つの方法は、左側の境界でディリクレを使用し、伝播されるソリューションと一致する条件を使用することです。つまり、定義することができます（初期時間想定） $t_0$

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=0 \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

これにより、右端で消えるまで右に走るパルスが生成されます。

左の境界のディリクレのアニメーションのためにここを押してください

私にはまだ理解できないノイズが聞こえます（誰か助けてください）

他のオプションは、周期的な境界条件を課すことです。それは、左のディリクレ境界条件を課す代わりに、左の境界と一致する波束を課すことができます。あれは：

$$\begin{eqnarray} u(a,t_0)=p[a-c(t-t_0) ] \quad , \quad u(b, t_0) = p[b-c(t-t_0)]. \end{eqnarray}$$

ただし、 for andであり、間隔内にデータを配置する必要があるため、長さ 1つの「期間」を追加し 、、したがって左側の条件は（同じ！）になり、パルスが終了します右側と左側から入ります。$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

この リンク は、私が周期的境界条件と呼ぶものを示しています。

私はpythonでアニメーションを作成し、スキームはここの質問に示されているようにクランクニコルソンスキームです。

波が最初の（右の）境界に達した後も、ノイズパターンにまだ苦労しています。