PDEを解くときに、局所保存が重要なのはなぜですか？

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エンジニアは、PDEを解くために、有限体積、保守的有限差分、不連続ガラーキン法などの局所的に保守的な方法を使用することをしばしば主張します。

ローカルで保守的でない方法を使用すると、何が問題になる可能性がありますか？

さて、局所保存は双曲線PDEにとって重要ですが、楕円PDEについてはどうですか？

pde hyperbolic-pde fluid-dynamics

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非線形双曲線PDEの解では、初期条件が滑らかであっても不連続性（「ショック」）が現れます。不連続がある場合、解の概念は弱い意味でのみ定義できます。衝撃の数値速度は、課されている正しいランキン-フゴニオ条件に依存し、これは、局所的に積分保存則を数値的に満たすことに依存します。ラックス-Wendroff定理は収束数値的方法は、双曲線保存則の弱解に収束することを保証する方法は保守的である場合にのみ。

保守的な方法を使用する必要があるだけでなく、実際には、適切な量を保存する方法を使用する必要があります。これを説明する素晴らしい例が、LeVequeの「双曲線問題の有限体積法」、セクション11.12およびセクション12.9にあります。バーガーズの方程式を離散化する場合

{あなたは}_{t} + 1 / 2 （ {あなたは}^{2} ）_{バツ} = 0

$u_t + 1/2 (u^2)_x = 0$

一貫した離散化による

{うん}_{私}^{n + 1} = {うん}_{私}^{n} - \frac{△ t}{△ バツ} {うん}_{私}^{n} （ {うん}_{私}^{n} - {うん}_{私 - 1}^{n} ）

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{\Delta x} U^n_i (U^n_i-U^n_{i-1})$

グリッドをどれだけ細かくしても、ショックは間違った速度で移動することがわかります。つまり、数値解は真の解に収束しません。代わりに保守的な離散化を使用する場合

{うん}_{私}^{n + 1} = {うん}_{私}^{n} - \frac{△ t}{2 △ バツ} （ （ {うん}_{私}^{n} ）^{2} - （ {うん}_{私 - 1}^{n} ）^{2} ）

$U^{n+1}_i = U^n_i - \frac{\Delta t}{2\Delta x} ( (U^n_i)^2-(U^n_{i-1})^2)$

磁束の差に基づいて、ショックは正しい速度で移動します（この式では、ショックの左右の状態の平均です）。この例は、私が書いたこのIPythonノートブックに示されています。

線形双曲線PDE、および通常は滑らかな解をもつ他の種類のPDEの場合、局所保存は収束に必要な要素ではありません。ただし、他の理由で重要な場合があります（たとえば、総質量が対象量である場合）。

— デビッド・ケッチャソン
ソース

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あなたの質問に対する一つの答えは、特定のコミュニティは常に常に保守的なスキームを使用していたので、それが「行われた方法」の一部になった。それが最善の方法であるかどうかを議論する人もいるかもしれませんが、それは英国に右側を運転するように求めるのと同じくらい実り多いものです。

あなたは + K \nabla p = 0 \nabla \cdot あなたは = f \partial_{t} S + あなたは \cdot \nabla S = q 。

$u + K \nabla p = 0 \\ \nabla \cdot u = f \\ \partial_t S + u \cdot \nabla S = q.$

h \to 0

$h\rightarrow 0$ 、ただし、このプロパティが有限のメッシュサイズでも保持されるようにするという主張は、理にかなっています。

— ウルフギャング・バンガース
ソース

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多くの場合、解かれる方程式は物理保存則を表しています。たとえば、流体力学のオイラー方程式は、質量、運動量、およびエネルギーの保存の表現です。私たちがモデリングしている根本的な現実が保守的であることを考えると、保守的でもある方法を選択することは有利です

電磁界でも同様のことがわかります。Maxwellの法則には、磁場の発散のない条件が含まれていますが、その方程式は磁場の進化に常に使用されるとは限りません。この条件を保存する方法（たとえば、制約されたトランスポート）は、現実の物理学を一致させるのに役立ちます。

編集：@hardmathは、質問の「何がうまくいかない」部分に対処するのを忘れたことを指摘した（ありがとう！）。質問は特にエンジニアを対象としていますが、私は自分の分野（天体物理学）からいくつかの例を提供し、エンジニアリングアプリケーションで何がうまくいかないかを一般化するのに十分なアイデアを説明するのに役立つことを願っています。

（1）超新星をシミュレートするとき、核反応ネットワークにリンクされた流体力学を使用します（およびその他の物理学、ただし無視します）。多くの核反応は温度に強く依存します。温度は（1次近似で）エネルギーの尺度です。エネルギーの節約に失敗すると、温度が高すぎる（この場合、反応が非常に速くなり、エネルギーがはるかに多くなり、存在しないはずの暴走が起こる）または低すぎる（この場合、反応実行速度が遅すぎて、超新星に電力を供給できません）。

（2）連星をシミュレートするとき、角運動量を保存するために運動量方程式を作り直す必要があります。角運動量の保存に失敗すると、星同士が正しく軌道を合わせることができなくなります。余分な角運動量が得られると、分離して正しく相互作用しなくなります。角運動量が失われると、それらは互いに衝突します。同様の問題は、恒星ディスクをシミュレートするときに発生します。（線形）運動量の保存が望ましいのは、物理法則が線形運動量を保存するためですが、場合によっては線形運動量を放棄し、角運動量を保存する必要があります。

磁場の発散のない状態を引用しているにもかかわらず、私はそこまで知識がありません。発散のない状態を維持できないと、磁気単極子が生成される可能性があります（現時点では証拠がありません）が、シミュレーションで発生する可能性のある問題の良い例はありません。

— ブレンダン
ソース

明示的に発散のない条件を課さない方法（たとえば、Galerkinメソッドの試行関数）は、質問が尋ねる内容の良い例のように思えますが、「[w] hatそのような設定では間違って行きます。非圧縮性のNavier-Stokesのコンテキストでそれについての論文があったことを知っています。

— ハードマス

@hardmath、質問の「何が間違っている可能性がある」側面に対処しなかったことを指摘してくれてありがとう。私は非圧縮性のNavier-Stokesを使用しませんが、私がよく知っているいくつかの例を提供しました。ただし、楕円PDEの保存に関する知識はあまりないので、省略しました。

— ブレンダン

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今日、私は論文「Navier-StokesシミュレーションのためのEMACスキーム、および過去のブラフ物体への応用」に出会い、そのセクション1.2がOPの質問に少なくとも部分的に答えていることに気付きます。関連する部分は次のとおりです。

計算流体力学（CFD）コミュニティでは、より多くの物理学が離散化に組み込まれるほど、特により長い時間間隔で、離散解がより正確かつ安定になると広く信じられています。1959年のN.フィリップス [42] は、順圧非線形渦度方程式（有限差分スキームを使用）の例を構築しました。ここでは、対流項の長時間積分により、任意の時間ステップの数値シミュレーションが失敗します。で [4] 荒川は、離散化スキームによって運動エネルギーとエンストロフィー（2D）が保存されていれば、長期にわたる積分の不安定性の問題を回避できることを示しました。…。2004年、Liと王が開発し、3次元の流れのヘリシティとエネルギーを節約しました。 [35] 、それらは軸対称流れのためのエネルギーとヘリシティ保存方式を提示します。彼らはまた、二重保存スキームが大きな非物理的数値粘性の必要性を排除することを示しています。…

…何十年もの間CFDで知られてきましたが、有限要素スキームによって保存される物理量が多いほど、特に長い時間間隔で予測がより正確になります。したがって、より物理的に正確なスキームによって提供されるソリューションも、より物理的に関連しています。完全に分解されたメッシュと無限に小さな時間ステップが許される場合、一般的に使用されるすべての有限要素スキームは同じ数値解を提供すると考えられています。ただし、実際には、特に時間依存の問題の場合、3Dシミュレーションで完全に解決されたメッシュを購入する余裕はありません。たとえば、第2章では、50〜60千のタイムステップが必要です。各タイムステップでは、400万の未知数を持つ疎な線形システムを解く必要があります。これには、それぞれ24コアの5ノードで高度に並列化されたコードを使用して、2〜3週間の計算時間が必要でした。

— xzczd
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