有限差分と有限要素の間で選択する基準は何ですか

私は、非常に制約のあるグリッド上で、有限要素の特殊なケースとして有限差分を考えることに慣れています。では、数値法として有限差分法（FDM）と有限要素法（FEM）を選択する条件は何ですか？

有限差分法（FDM）の側面では、有限要素法（FEM）よりも概念的にシンプルで実装しやすいと考えるかもしれません。FEMには非常に柔軟性があるという利点があります。たとえば、グリッドは非常に不均一であり、ドメインは任意の形状を持つことがあります。

FDMがFEMよりも優れていることがわかっている唯一の例は 、ZarbaのBouloutasのCeliaにあります。ここでは、時間微分の異なる離散化を使用するFDメソッドによる利点がありますが、有限要素法に固定することもできます。

局所再構成と求積法を選択して、ペトロフ・ガラーキンの有限要素法として最も具体的な有限差分法を書くことができます。また、ほとんどの有限要素法は、ある差分法と代数的に等価であることが示されます。したがって、使用する分析フレームワーク、使用する用語、拡張性のためのシステム、およびソフトウェアの構築方法に基づいて、方法を選択する必要があります。以下の一般化は、実際の使用におけるほとんどのバリエーションで当てはまりますが、多くのポイントを回避できます。

有限差分

長所

• 効率的な直角位相のない実装
• 特定のスキームのアスペクト比の独立性と局所保存（非圧縮性フローのMACなど）
• 輸送のためのロバストな非線形手法（ENO / WENOなど）
• いくつかの問題のM行列
• いくつかの問題の離散的最大原理（例えば、模倣の有限差分）
• 対角（通常は恒等）質量行列
• 安価なノード残差により、効率的な非線形マルチグリッド（FAS）が可能
• セル単位のVankaスムーザーは、非圧縮性の流れに対して効率的なマトリックスフリースムーザーを提供します

短所

• 「物理学」の実装がより困難
• 千鳥格子は時々非常に技術的です
• 非構造化グリッドの2次よりも高い
• ガラーキンの直交性がないため、収束を証明するのがより難しい場合があります
• ガラーキン法ではないため、離散化と随伴は通用しません（最適化と逆問題に関連）
• 自己随伴連続問題は、しばしば非対称行列を生成します
• 解は点ごとにのみ定義されるため、任意の場所での再構成は一意に定義されません
• 境界条件は実装が複雑になる傾向があります
• 不連続係数は通常、メソッドを1次にします
• 物理学に「クロスターム」が含まれている場合、ステンシルが大きくなります

有限要素

長所

• ガラーキンの直交性
• シンプルな幾何学的な柔軟性
• 不連続ガラーキンは堅牢なトランスポートアルゴリズム、非構造化グリッド上の任意の順序を提供します
• 安定性を保証するセル単位のエントロピー不等式は、非線形リミッターを必要とせずに、メッシュ、次元、精度の順序、および不連続解の存在に依存しない$L^2$
• 境界条件の実装が簡単
• テストスペースを選択することで保存ステートメントを選択できます
• 離散化および随伴通勤（ガラーキン法の場合）
• 機能分析のエレガントな基盤
• 高次では、ローカルカーネルはFDにないテンソル製品構造を活用できます。
• Lobatto求積法は、メソッドをエネルギー節約にできます（シンプレクティック時間積分器を想定）
• 境界に揃えることができる限り、不連続係数でも高次精度
• 要素内の不連続係数はXFEMで対応可能
• 複数のinf-sup条件を扱いやすい

短所

• 高アスペクト比では多くの要素に問題があります
• 連続FEMは輸送に問題があります（SUPGは拡散性で振動的です）
• DGは通常、同じ精度でより多くの自由度を持ちます（ただし、HDGははるかに優れています）
• 連続FEMは安価なノードの問題を提供しないため、非線形スムーザーの定数はずっと劣ります
• 通常、アセンブルされた行列の非ゼロがより多くなる
• 一貫性のある質量行列（いくつかの素晴らしい特性ですが、完全な逆行列を持っているため、時間ステップごとに暗黙的な解決が必要です）と集中質量行列を選択する必要があります。

この質問は、意味のある答えを得るには広すぎる場合があります。回答するほとんどの人は、使用される可能性のあるすべての種類のFDおよびFE離散化の一部にしか精通していません。FDとFEの両方に注意してください

• 構造化グリッドまたは非構造化グリッドに実装できます（非構造化グリッドでのFDメソッドの一例については、このペーパーを参照してください）
• 任意の高精度に拡張できます（多くの方法で！）
• おそらくは組み合わせて、空間および/または時間で離散化するために使用できます
• ローカルまたはグローバル基底関数のいずれかを使用します（後者はFDおよびFEタイプの両方のスペクトル法につながります）
• 連続または不連続の関数空間に基づくことができます
• 空間的に明示的または暗黙的にすることができます
• 一時的に明示的または暗黙的にすることができます

あなたはアイデアを得る。もちろん、特定の分野では、一般に実装および使用されるFDおよびFEメソッドには、非常に異なる機能があります。しかし、これは通常、2つの離散化アプローチの固有の制限によるものではありません。

任意の高次のFDスキームについて：高次FDスキームの係数は、任意の次数に対して自動的に生成できます。たとえば、LeVequeの本を参照してください。FD手法であるスペクトルコロケーション手法は、メッシュ間隔のどのパワーよりも速く収束します。たとえば、Trefethenの本を参照してください。

有限要素（FE）の利点：

• 変分法（たとえば、シュレーディンガー方程式の「p」が増加するとエネルギーは常に低下しますが、FDには当てはまりません）
• 高次で正確（p = 50以上）
• 実装されると、「p」と「h」の両方で系統的な収束を行うのが簡単です（各次数に特別なFDスキームを持つのとは対照的に）

有限差分（FD）の利点：

• 低次の実装がより簡単に
• 精度を下げるために、おそらくFEより高速

Runge-KuttaやAdamsメソッドのようなODEの積分器を意味する「有限差分」と言う人もいます。その場合、FDには別の利点があります。

• 非線形ODEを直接解くことが可能

FEには、ニュートン法のような非線形反復が必要です。

有限要素法の長所は柔軟で強力であるとすでにいくつかの良い回答がありましたが、ここでソボレフ空間と微分幾何学の観点から、FEMの別の利点を示します。真の解決策が存在するソボレフ空間。

たとえば、Raviart-Thomas面要素は平面弾性、混合法は拡散です。計算電磁気学のためのネデレックのエッジ要素。

通常、「エネルギー積分可能」空間にある微分形式であるPDEの解： ここで、は外部導関数であり、この空間の周りにde Rhamコホモロジーを構築できます。これは、3D空間で次のような正確なde Rhamシーケンスを構築できることを意味します。$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

演算子の範囲は次の演算子のヌル空間であり、これに関する多くの優れたプロパティがあります。有限要素空間を構築してこのde Rham正確なシーケンスを継承できれば、この有限要素空間に基づくGalerkinメソッドは安定し、実際のソリューションに収束します。そして、de Rhamシーケンスからの通勤図によって補間演算子の安定性と近似特性を取得でき、さらにこのシーケンスに基づいて事後誤差推定と適応メッシュ精製手順を構築できました。

これについての詳細は、ダグラスアーノルドのActa Numericaの記事「有限要素外部計算、ホモロジー手法、およびアプリケーション」およびアイデアを簡単に紹介するスライドを参照してください。

空間スキームと時間スキームを区別することが重要です。

有限要素は、しばしば有限差分を使用して、一時的な用語（たとえば、明示的なオイラー、陰的、クランクニコルソン、または過渡拡散のルンガクッタ）と空間離散化の有限要素を統合します。

有限要素は不規則なメッシュに適しています。それらは変分原理に基づくことができますが、通常は加重残差の方法を使用して一般化されます。さまざまな多項式次数を使用する要素のライブラリを開発し、ラグランジュ乗数を使用して非圧縮性などの制約を強制するのは簡単です。

両方の定式化は目的を達成するための手段です：連立方程式と線形代数の観点から微分方程式を表現します。

あるメソッドの別のメソッドに対する速度に関するステートメントは、アルゴリズムを記述することによって修飾する必要があります。たとえば、機械的問題を双曲線ダイナミクス問題としてキャストすると、マトリックス分解が乗算と加算に置き換えられるため、場合によってはより高速な結果が得られます。

有限差分法よりも有限要素法について多くのことを知っていることは認めます。FEMは商用パッケージで入手でき、固体力学および熱伝達の問題を解決するために産業界および学界で広く使用されています。計算流体力学では、有限差分または有限体積アプローチが使用されていると思います。