FEM離散化の弱い形式を導出する際に、部品による統合を使用する目的は何ですか？

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PDEの強力な形式からFEM形式に移行する場合、最初に変分形式を述べることで常にこれを行う必要があるようです。これを行うには、強力な形式に何らかの（ソボレフ）空間の要素を掛けて、地域全体に統合します。これは受け入れられます。私が理解していないのは、なぜグリーンの式を使用する必要があるのか（1回または数回）です。

私は主にポアソンの方程式を扱ってきたので、例として（同種のディリクレ境界条件で）それをとると、

\begin{aligned} - \nabla^{2} u & = f, u \in Ω \\ u & = 0, u \in \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u &= f,\quad u\in\Omega \\ u &= 0, \quad u\in\partial\Omega \end{align}$

変分形式を形成する正しい方法は

\begin{aligned} \int_{Ω} f v d \vec{x} & = - \int_{Ω} \nabla^{2} u v d \vec{x} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} - \int_{\partial Ω} \vec{n} \cdot \nabla u v d \vec{s} \\ = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d \vec{x} . \end{aligned}

$\begin{align} \int_\Omega fv\,\mathrm{d}\vec{x} &= -\int_\Omega\nabla^2 uv\,\mathrm{d}\vec{x} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x} - \int_{\partial\Omega}\vec{n}\cdot\nabla u v\,\mathrm{d}\vec{s} \\ &=\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,\mathrm{d}\vec{x}. \end{align}$

しかし、最初の行の式を使用できないのは、FEMフォームを取得するために使用できる変分形式ではないのですか？双線形および線形形式 $b(u,v)=(\nabla^2 u, v)$ および $l(v)=(f, v)$ ませんか？ここでの問題は、線形基底関数（形状関数）を使用すると、剛性マトリックスがヌルマトリックス（反転不可）になるため、問題が発生することですか？しかし、非線形形状関数を使用するとどうなりますか？まだグリーンの式を使用する必要がありますか？する必要がない場合：推奨されますか？そうでない場合、変則的ではあるが弱くない定式化がありますか？

ここで、高階微分を持つPDEがあるとしましょう。これは、グリーンの公式の使用方法に応じて、多くの可能な変分形式があることを意味しますかそして、それらはすべて（異なる）FEM近似につながりますか？

pde finite-element elliptic-pde

— キリスト教の
ソース

関連：scicomp.stackexchange.com/questions/667/...

— ポール

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短い答え：

いいえ、特定のFEMの統合を行う必要はありません。しかし、あなたの場合、あなたはそれをしなければなりません。

長い答え：

が有限要素解であるとしましょう。基礎として区分的線形多項式を選択した場合、それに対してを取得すると、次数1の分布（ヘビサイドステップ関数で導関数を取得することを考える）、およびの積分が得られます乗算することは、内部積ではなく双対ペアとして使用する場合にのみ意味があります。ヌル行列を取得することもありません表現の定理によれば、要素があり、は内積によって双対性ペアを特徴付けることができます。 $u_h$ $\Delta$ $-\Delta u_h\in H^{-1}$ $v$ $L^2$ $\varphi_{-\Delta u_h} \in H^1_0$ $H^1$
$⟨ - Δ u_{h}, v ⟩_{H^{- 1}, H_{0}^{1}} = \underset{inner product in H^{1}}{\underset{⏟}{\int_{Ω} \nabla φ_{- Δ u_{h}} \cdot \nabla v}} .$ $\langle-\Delta u_h ,v \rangle_{H^{-1},H^1_0} = \underbrace{\int_{\Omega}\nabla \varphi_{-\Delta u_h} \cdot \nabla v}_{\text{inner product in }H^1}.$ ための要素によって部品素子によって積分ため：この双対ペアに光を当てるであろうの要素を、この三角測量にこれは要素間を含める必要があることを示します双対ペア表現での磁束ジャンプ、各要素の境界での積分もと間の双対ペアであることに注意してください $u_h$ $T$ $\int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v = - \sum_{T} (\int_{T} Δ u_{h} v + \int_{\partial T} \frac{\partial u_{h}}{\partial n} v d S),$ $\int_{\Omega}\nabla u_h \cdot \nabla v = -\sum_{T}\left(\int_{T} \Delta u_h\,v + \int_{\partial T}\frac{\partial u_h}{\partial n}v\,dS\right),$ $-\Delta u_h$ $H^{1/2}$ $H^{-1/2}$ 。各要素に非ゼロのがある2次基底を使用しても、この要素間フラックスジャンプが存在するためを内積として書くことはできません。 $\Delta$ $(\Delta u, v)$
部品の統合は、滑らかな関数を用いた楕円偏微分方程式のためのソボレフ理論にさかのぼることができる -spacesが下滑らかな機能の全て閉鎖されている積分ノルムの種類。そして、人々はここで内積を実行できる最小の規則性は何かと言います。また、ことを念頭に特定の条件下で-regular弱い溶液がある -strong溶液（楕円規則性）。しかし、区分的連続線形多項式はではありません。この観点から、を使用して内積を取ることも意味がありません。 $W^{k,p}$ $W^{k,p}$ $H^1$ $H^2$ $H^2$ $\Delta u_h$
特定のFEMについては、部品ごとに統合する必要はありません。たとえば、最小二乗有限要素。2次pdeを1次システムとして記述します。次に、最小二乗関数を最小化します： Ritz-Galerkin関数と同じ精神を持ち、上記の関数を最小化する有限要素定式化有限要素空間は、部品による統合を必要としません。
${\begin{cases} σ = - \nabla u, \\ \nabla \cdot σ = f . \end{cases}$ $\begin{cases} \boldsymbol{\sigma} = -\nabla u, \\ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = f. \end{cases}$ $J (v) = ‖ σ + \nabla u ‖_{L^{2} Ω}^{2} + ‖ \nabla \cdot σ - f ‖_{L^{2} Ω}^{2},$ $\mathcal{J}(v) = \|\boldsymbol{\sigma} + \nabla u\|_{L^2{\Omega}}^2 + \|\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} - f\|_{L^2{\Omega}}^2,$

— シュハオ・カオ
ソース

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技術的にそれを妨げるものは何もありませんが、部品ごとに統合すると、規則性（非IBPの定式化に必要）を必要としないという点で、ソリューションスペースの柔軟性が高まります。あなたが提案する線形要素は、一般的に要素間の連続性を強制しているため、は存在できません。IBPの定式化はさらに対称的であり、独自の利点もいくつかあります。 $H^2$ $H^2$

— リード・アッチョン
ソース

1

このFEM解を2回（弱く）微分すると、ないデルタ分布の合計が得られるため、線形形状関数はないFEM公式に解を与えると言っていますか？それは、2よりも高次のpde：sに対して、1よりも高次の形状関数を使用しなければならないことを意味します（少なくともテスト空間とトライアル空間が同じである場合）？

H^{2}

$H^2$

L^{2}

$L^2$

— クリスチャン

1

あなたが言っていることは本質的に正しいです。2次よりも高いPDE については、混合定式（Shuhaoの答えを参照）を書き留めることができるため、必ずしもより高い規則性スペースを使用する必要はありません。この問題を回避するために、ジャンプペナルティのような他のテクニックを使用することもできます。ただし、古典的なFEMの答えについては、はい、より高い規則性が必要です。

— Reid.Atcheson

2

対称性の重要性を強調します。微分演算子が自己随伴である場合、最終的に対称行列になります。部品による統合がなければ、これは当てはまりません。

— ステファノM

1

計算上の利点はそれを追加する際の私の主な考えでしたが、対称性の強力な理論上の利点もあります（離散化が非対称であっても、楕円の場合に当てはまる可能性が高い事実の簡単な証明は別として）？

— -Reid.Atcheson

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このページにはすでに優れた回答がありますが、まだ（小さな）欠けている点があります。

OPは尋ねました：

ここで、高階微分を持つPDEがあるとしましょう。これは、グリーンの公式の使用方法に応じて、多くの可能な変分形式があることを意味しますかそして、それらはすべて（異なる）FEM近似につながりますか？

ノイマン型の境界条件がある場合、（正しい方法で）部品ごとに積分することが重要です。実際、変分定式化でノイマンbcを考慮するのはibpです。Neumann bcの形式は、部品ごとの統合方法によって異なります。cf。線形弾性の部品による統合に関するこの答え。したがって、2次楕円PDEの場合でも、ノイマン条件または混合境界条件に有効な変分定式化を回復するために、部品ごとの積分を所定の方法で実行する必要があります。（もちろん、これはFEMで離散化するという事実に関係なく）。

Neumann bcが明確に定義された意味（熱流束、応力...）をもつ数理物理学では、結果の正しい解釈を維持するために、部品による統合が重要です。同種のディリクレ条件とFEMでも、ラグランジュ乗数法を使用してbcを課すと、乗数は集中フラックスまたは力のような物理量になるため、これは事実です。

— ステファノM
ソース