PDEのシステム用の有限差分行列の自動生成

解くPDEのシステムがあるとします。少なくとも簡単にするために、それが時間に依存せず、（x、y）空間の長方形グリッド上で解決された準線形（その導関数では線形）であり、境界条件がすべて指定されていると仮定しましょう。私の質問はより一般的ですが、ここから始めましょう。

2つの従属変数、とます。一般的な方程式は次のような形になります。 $u(x,y)$ $v(x,y)$

a （ バツ 、 y ） Y_{バツ バツ} + b （ バツ 、 y ） Y_{y y} + c Y_{バツ y} + d （ バツ 、 y ） Y_{バツ} + e （ バツ 、 y ） Y_{y} = f （ バツ 、 y 、 Y ）

$a(x,y) Y_{xx} + b(x,y) Y_{yy} + cY_{xy} + d(x,y) Y_x + e(x,y) Y_y = f(x, y, Y)$

ここで、からまでのすべての関数は2x2行列、は2x1行列、は $a$ $e$ $f$ $Y$

Y （ バツ 、 y ） = （ \begin{matrix} あなた （ バツ 、 y ） \\ v （ バツ 、 y ） \end{matrix} ）

$Y(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y) \end{pmatrix}$

有限差分数値近似を計算するとします。グリッド点がxとyで等間隔にあると仮定します。をポイントに、をポイントに離散化できます。そして、2（nm）列ベクトルとしてソリューションを構築します。 $x$ $N$ $y$ $M$

バツ = （ \begin{matrix} {あなた}_{11} \\ ⋮ \\ {あなた}_{ん 1} \\ ⋮ \\ {あなた}_{ん メートル} \\ v_{11} \\ ⋮ \\ v_{ん メートル} \end{matrix} ）

$X = \begin{pmatrix} u_{11} \\ \vdots \\ u_{n1} \\ \vdots \\ u_{nm} \\ v_{11} \\ \vdots \\ v_{nm} \end{pmatrix}$

次に、ある種の行列方程式解きます

（ あ + B + C + D + E ） バツ = b 、

$(A + B + C + D + E)X = b,$

ここで、2nm x 2nm行列からは、対応する微分演算子の有限差分行列です。括弧内の結合されたマトリックスは、ある種のブロックバンド構造になります。境界条件のために、それらのエッジ値は複雑になる場合があります。 $A$ $E$

私の質問は単純です：行列からを生成する簡単な方法（特にMatlabで）はありますか？または、少なくとも、必要なすべての行列を作成するための簡単なガイド（おそらく、手動入力の可能性がある境界条件に必要な変更を除く）。 $A$ $E$

問題は、これを手作業で行えることですが、それは（i）代数が多いことです。（ii）実装時に多くのタイプミスやエラーが発生する。

例えば、ここではデリバティブの異なる順序のための1D差分「マトリックス」のため、あなたに必要なすべてのベクトルを与えるコードがあります。平面上のPDEのシステムに類似点はありますか？

pde matlab finite-difference

— TSGM
ソース

私は簡単な解決策を知りませんが、MapleやMaximaのような記号計算パッケージを使用してこれを自動化することはそれほど難しくありません。あなたはできますここで、このアイデアの例を参照 1D拡散方程式に適用します。

特に、LinearAlgebra[GenerateMatrix]（Mapleで）またはaugcoefmatrix（Maximaで）関数が必要です。MATLABにはシンボリック計算ツールボックスがあり、この目的にも使用できると思います。

実装の自動化に関してCodeGenerationは、Maple のモジュールを使用してMATLABコードを出力したり、Maxima のgrindand fortran関数を使用して、MATLABに近い出力を生成したりできます。

— ファン・M・ベロ・リバス
ソース