FEMで不均一なディリクレ境界条件を適切に適用する方法

一般に、ディリクレ境界条件は、非均質境界条件のFEMに対して正確に満たされません。私が見たFEMコードは、ディリクレ境界条件を補間するための自由度を設定しましたが、これに対する数学的な正当化は見つかりませんでした。必須の境界条件を設定すると、おそらく計算コストが高くなりますが、おそらくエラーの一部の機能を最小限に抑える必要があります（たとえば、Dirichlet BCが適用される境界の部分で）。$||u -u_h||$

このようにBCを設定する正当な理由はありますか。

ディリクレ境界自由度を値に設定するための数学的正当化があります。ただし、それに応じてバリエーション形式を調整する必要があります。一般的な問題を見ている場合は、次のように言ってください。

検索となるよう$u\in\mathcal{U}$

$a(u,w)=l(w) \ \ \forall w\in\mathcal{V}$

どこ

$\mathcal{U}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=g\text{ on }\Gamma_D\}$

$\mathcal{V}=\{u:\int \nabla u^2 < \infty, u=0\text{ on }\Gamma_D\}$

代わりに、私たちは書くことができますどこV ∈ Vとgはディリクレ条件です。次に、変分形式は$u = v + g$$v\in\mathcal{V}$$g$

$a(v+g,w)=l(w)$

またはa （。、。）の線形性を使用する$a(.,.)$

$a(v,w)=l(w)-a(g,w)$

有限要素コードでは、境界条件がないかのように要素剛性マトリックスを形成できます。次に、ディリクレ境界条件に対応するローカル行列の列を取り、適用する係数でスケーリングし、右側から減算します。これは私が上記書いたものの離散的な形態であり、。次に、その列と対応するディリクレ行をゼロにし、対角線に1を配置し、適用する係数を配置します。これにより、方程式がシステムから切り離され、強制する値が設定されます。$-a(g,w)$

Tom Hughesによる「有限要素法：線形静的および動的有限要素分析」をお勧めします。彼はこの問題について8ページから拡張された議論をしています。

変分推論でネイサンの素晴らしい答えを追加するには、有限要素を実装するときにアルゴリズムの詳細が必要になることがよくあります。例えば、

私はまた、私の個人的なメモで、この主題についてより詳細な説明をしています。「制約付き線形システム」の章を参照してください。