混合問題の有限要素収束率

私は有限要素を使用してストークスフロー問題をコード化し、それが機能することを確認しているところです。メッシュをグローバルにリファインするときに、どの収束率を期待するべきかわかりません。

線形基底関数を使用するスカラー問題については、次数収束（は要素のサイズ）を期待し、二次基底関数を使用すると、ノルムで次数収束、で1の累乗が少ないことを期待します。セミノルム。私が今持っている問題は、ストークスフローをコーディングするときに、圧力には線形、速度成分には2次を使用するテイラーフード要素を使用したことです。それは収束する速度と次の圧力と同じくらい簡単ですか？ $h^2$ $h$ $h^3$ $L^2$ $H^1$ $h^3$ $h^2$

私は最初にこれをmathoverflowに投稿し、このフォーラムに適しているかもしれないと言われました。

pde finite-element convergence

— ルーカス・バイストリッキー
ソース

\begin{matrix} (1) & ‖ u - u_{h} ‖_{V} + ‖ p - p_{h} ‖_{M} \leq C (inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{V} + inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{M}), \end{matrix}

$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$

(u, p) \in V \times M

$(u,p)\in V\times M$

(u_{h}, p_{h}) \in V_{h} \times M_{h}

$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$

V = H_{0}^{1} (Ω)^{d}

$V=H^1_0(\Omega)^d$

M = L^{2} (Ω)

$M = L^2(\Omega)$

P_{2}

$P_2$

P_{1}

$P_1$

V_{h}

$V_h$ 連続的な区分的二次多項式と連続的な区分的線形多項式ので構成されます。右側の両方の項は、標準の引数（たとえば、ブランブルヒルベルトレンマと変換規則）を使用して、二次近似誤差によって制限できます：（経験則「左側の導関数の数べき乗右側の導関数の数 "）。これを挿入すると、

M_{h}

$M_h$

\begin{aligned} inf_{w_{h} \in V_{h}} ‖ u - w_{h} ‖_{H^{1}} & \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}} \\ inf_{q_{h} \in M_{h}} ‖ p - q_{h} ‖_{L^{2}} & \leq C h^{2} ‖ p ‖_{H^{2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$

+

$+$

h

$h$

=

$=$

(1)

$(1)$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}}) .

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$ （正確な解が実際に十分に規則的であると仮定します）。

連続ストークス問題と離散ストークス問題はどちらもという形式の上三角結合線形システムであるため、エラー推定値（溶液を満たすの差のために同様のシステムことととの可逆使用カーネルに）はでエラーに一般的に依存する。

\begin{aligned} A u + B^{*} p & = f \\ B u & = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$

A_{h}

$A_h$

B_{h}

$B_h$

A

$A$

B

$B$

u - u_{h}

$u-u_h$

p - p_{h}

$p-p_h$

ただし、証明を見るとループホールがありますのヌルスペースがのヌルスペースに含まれている場合、実際には結合項がドロップし、のみを含むエラー推定が得られますそこから、標準のAubin-Nitscheトリックを適用できます（随伴方程式が適切な場合、これは、ドメインが十分に規則的である場合に当てはまります。2Dの凸多角形、またはリプシッツ微分可能関数でパラメーター化できる境界があり、1次のエラーの収束率を取得します。 $B_h$ $B$ $u$

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C h^{2} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$

Ω

$\Omega$

L^{2}

$L^2$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{3} ‖ u ‖_{H^{3}}

$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$

これらの結果は、ガーモンドのエルン：有限要素の理論と実践、Springer、2004年に記載されています。（エラー推定値は定理4.26で収集されますが、必要な規則性は補題4.17で定義されています。証明は残念ながら本全体に散らばっています。は明示的に検証されていないと思います。） $\Omega$ $\ker B_h\subset \ker B$

— クリスチャン・クラソン
ソース

この回答の編集に多くの労力を費やしたようです。本当に感謝しています。見積もりをどこで得たかを明確にできますか：、またはそれを指定しただけですか？

‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} + ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq C h^{2} (‖ u ‖_{H^{3}} + ‖ p ‖_{H^{2}})

$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2})$

— Lukas Bystricky 2014

問題ありません。何か助けがあれば嬉しいです。推定値は、標準の補間誤差を最初の推定値に差し込んだものです。そのステップを追加しました。

— クリスチャンクラソン2014

実験Iを得ている（微分可能関数によってパラメータ化することができないボックスドメインを使用して）における収束とで収束をシステム全体。

h^{2}

$h^2$

L^{2}

$L^2$

h

$h$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky 2014

ええと、今のところ、あまりアイデアがありません。これは実際には新しい質問であり、ストークスの問題をよく理解している人はよりよく答えられるようになっています。新しい質問をしてみませんか（下のリンクを使用）、解決する問題（右側、境界条件、ジオメトリ、正確な解）、正確に何を期待するか、代わりに何を得るかを説明します？（deal.IIコードが十分に小さい場合は、それも投稿できます。主要な開発者の一部がここに頻繁に寄稿しています。）

— Christian Clason

私のソリューションの誤ったコンポーネントを調べていたことがわかりました。私は正しい部品を見たとき、私は取得における及びにおける速度および低い圧力のために1つの電源を。

h^{3}

$h^3$

L^{2}

$L^2$

h^{2}

$h^2$

H^{1}

$H^1$

— Lukas Bystricky 2014