不均一グリッドの離散

私は数値手法に関する本を読んでおり、離散$L^2$ノルムの2乗は次のように定義されます

$$||x||^2_2=h\sum_1^Nx^2_i$$ すべてのポイントに「重み」、つまり$h$が割り当てられるため、これはすべてのポイントの値の2乗の平均に似ています。これは実際には、連続積分の近似から来ています。一方で、グリッドが間隔不均一である同様のノルム$h_i$を|として定義できますか？| x | | 2 2 = N ∑ $$||x||^2_2=\sum_1^Nh_ix^2_i$$ これは連続積分をこのように近似することもできるので自然に思えますが、本の中で疑わしいと思ったので、何かが足りないのです！したがって、不均一なグリッドがあり、この基準でいくつかの見積もりを作成したい場合、どのように定義する必要がありますか？

正解です。ノルムは、離散（ベクトル）ノルムが対応する関数の連続ノルムと等しい（または少なくとも近似する）ように定義されています。

不均一なメッシュがある場合、与えた形式（合計の中にがある）は正しく、不均一なメッシュの分析で頻繁に使用されます。$h_i$

もちろん、2dの場合、正しい式には係数と3dのh 3が含まれます。$h^2$$h^3$

$f(x)$$x \in (a,b)$$L^2$F ≡ { fはiは = fは（X I）

$$\begin{equation} \lVert f \rVert_2^2 = \int_a^b \lvert f(x)\rvert^2 \, dx. \end{equation}$$ x i = a + i b − $\mathbf f \equiv \{ f_i = f(x_i), \; i=0\dots N\}$ L$x_i = a + i \frac{b-a}{N}$ $L^2$

limh→

$$\begin{align} \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}}^2 &= h \sum_{i=0}^N \lvert f_i \rvert^2, &h = \frac{b-a}{N} \end{align}$$ 質問では、 あり、離散ノルムを一種の求積法のルールとして解釈しているので、不均一なグリッドの場合、より適切な式が使用されないのはなぜでしょうか。 $$\begin{equation} \lim_{h \rightarrow 0} \: \lVert \mathbf f \rVert_{2,\text{d}} = \lVert f \rVert_2 \end{equation}$$

この解釈は間違っていませんが、唯一の可能性ではありません。純粋な数値ではなく、物理量を扱うエンジニアとして、離散的なノルムを、連続的なノルムと次元的に均一になるようにスケーリングされたユークリッドノルムと考えることを好みます。したがって、であることを証明できれば、が期待でき。スケーリング係数がないと、これは当てはまりません。L 2 ‖ F - F H ‖ 2 → 0 ‖ F - F H ‖ 2 、D → $\ell^2$$L^2$$\lVert f - f^h \rVert_2 \rightarrow 0$$\lVert \mathbf f -\mathbf f^h\rVert_{2,\text{d}} \rightarrow 0$

編集：

ここで結論を削除しました。Wolfgangによる答えを見てください。

スケーリングされたユークリッドノルムは計算が簡単ですが、提案は少し不正確であり（求積式としていくつかの懸念を引き起こす可能性があります）、計算にコストがかかることに注意してください。

結論：離散ノルムは連続的ではない（そうである必要はない）と近似ではありませんが、スケーリングされたユークリッドノルムとして解釈でき、次元的に連続ノルムと一致します。 ℓ 2 L $L^2$$\ell^2$$L^2$