ポアソン方程式における境界条件（例：周期的）の役割

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与えられた3次元ポアソン方程式と右辺とドメイン、Iは、機能上の任意の境界条件（BC）を課すことが解放午前、または実行彼らはどういうわけか右側と一致する必要がありますか？特に、定期的なBCを課す場合、右側のソリューションは1つだけでしょうか？

\nabla^{2} ϕ (x, y, z) = f (x, y, z)

$\nabla^2 \phi(x, y, z) = f(x, y, z)$

ϕ

$\phi$

たとえば、聞かせてとIボックスに解決する。今、すべてのソリューションは、の合計でなければなりません：

f (x, y, z) = - 3 π^{2} \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z)

$f(x, y, z) = - 3 \pi^{2} \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}$

(0, 1) \times (0, 1) \times (0, 1)

$(0, 1)\times (0, 1) \times (0, 1)$

ϕ_{0} + ϕ_{1}

$\phi_0+\phi_1$

ϕ_{0} (x, y, z) = \sin (π x) \sin (π y) \sin (π z),

$\phi_0(x, y, z) = \sin{\left (\pi x \right )} \sin{\left (\pi y \right )} \sin{\left (\pi z \right )}\,,$ なぜなら

\nabla^{2} ϕ_{0} = f

$\nabla^2\phi_0 = f$ 、および

ϕ_{1}

$\phi_1$ 任意であり、調和関数（すなわち、

\nabla^{2} ϕ_{1} = 0

$\nabla^2\phi_1 = 0$ ）。正しい？

ゼロのディリクレBCを課す場合、BCを満たし、方程式を満たし、解は一意でなければならないため、 $\phi_0$ が唯一の解です。正しい？

$\phi_1$ $\phi_0+\phi_1$ $\phi_1$

pde boundary-conditions elliptic-pde

— オンジェイチェルティック
ソース

技術的には、この質問はmath.SEに適しています。

— David Ketcheson 2013

質問では明示的には触れませんでしたが、有限要素ベースの数値ソルバーのコンテキストで暗黙的に想定しています（そのため、私は答えに興味を持っています）が、質問自体は確かに一般的です。

— オンドレジ・セティク

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数値的な観点からは、離散化について直接議論するのがおそらく最も簡単です。

$Ax = b$ $A$ $b$ $f$ $A$ $b$ $f$

$f$ $f$ $f$

$K$ $x \equiv C$ $C$

$A$ $\operatorname{Range} A = K^\perp$ $Ax = b$ $\mathbf{1} \cdot b = 0$ $\mathbf{1}$

$\phi \in C^2(\Omega)$ $\Omega$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = \int_{\partial Ω} \frac{\partial ϕ}{\partial n} d S .

$\int_\Omega \Delta \phi \, dx = \int_{\partial \Omega} \frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}}\, dS.$

ϕ

$\phi$

\int_{Ω} Δ ϕ d x = 0.

$\int_\Omega \Delta\phi\, dx = 0.$

ϕ

$\phi$

Δ ϕ = f

$\Delta \phi = f$

\int_{Ω} f d x = 0.

$\int_\Omega f\, dx = 0.$

1 \cdot b = 0

$\mathbf{1} \cdot b = 0$

f

$f$

b

$b$

— ベン
ソース

ジョン、この素晴らしい答えを本当にありがとう！それがどのように機能するかについての明確な洞察を提供します。周期的な状態には落とし穴があるように感じましたが、なかなか指を向けられませんでした。再度、感謝します。

— オンドレジ・セティク

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\nabla^{2} ϕ = f

$\nabla^2\phi =f$

f = (- ρ / ε o)

$f=(-ρ/εo)$

ステートメント：周期解の場合、∫ρdv= 0条件（上記のBenによって説明）はシステムを正味中立に設定します。これは、周期的なボックスでのfの平均値を考えるのに良い（物理的な）方法です。

次に、このステートメントをテストしてみましょう。周期的な境界条件の場合、電界の積分はボックスの表面上でゼロでなければなりません（ボックスの表面上のポイントのペアは常に積分で互いに相殺されます）。

次に、発散定理（ガウスの法則）により、ボックスは中立である必要があり、これは私たちが証明しようと試みたことです。

\oint_{S} E_{n} d A = \frac{1}{ε_{0}} Q_{i n s i d e} = 0

$\oint_S {E_n dA = \frac{1}{{\varepsilon _0 }}} Q_{inside} =0$

ここでは物理学について少し説明しますが、ここでの議論に素晴らしい補強を提供すると思います。

— アジェイ・ムラリダラン
ソース

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ポアソン方程式の製造ソリューションの生成方法には特に注意が必要です。ソース項の定義は、PDEの弱い形式だけでなく、PDEの強い形式も満たさなければならないためです。上記の派生は、基本的にPDEの弱い形式を使用しています。言い換えると、境界での解の勾配とドメインでのソース項積分との間に関係があります。

— ハスベスタイン
ソース