楕円pdeの解に対する放物線pdeの解の漸近収束

私は放物線システムがあるととディリクレの境界条件

u_{t} = \nabla \cdot (k (x) \nabla u) + f, (x, t) \in Ω \times I

$u_t=\nabla\cdot(k(x)\nabla u)+f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

と初期条件

u = g, x \in \partial Ω

$u=g, \quad x\in\partial\Omega$

u (x, t) = h, t = 0.

$u(x,t)= h,\quad t=0.$

多くの場合、エンジニアリングでは、過渡的な動作ではなく、このPDEの漸近的な（定常状態の）動作に関心があります。だから、私達は時々時間微分項を無視し、楕円系を解く代わり。仮定は、その無限の時間をかけて、。

- \nabla \cdot (k (x) \nabla u) = f, (x, t) \in Ω \times I

$-\nabla\cdot(k(x)\nabla u)=f,\quad (x,t)\in\Omega\times I$

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c} (x, t) = u_{e l l i p t i c} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}(x,t)$

$f\equiv 0$ $f$

$u_{\mathrm{parabolic}}$ $u_{\mathrm{elliptic}}$

lim_{t \to \infty} u_{p a r a b o l i c}^{f d m} (x, t) = u_{e l l i p t i c}^{f d m} (x, t)

$\lim_{t\rightarrow \infty}u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}(x,t)= u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}(x,t)$

u_{e l l i p t i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{elliptic}}^\mathrm{fdm}$

u_{p a r a b o l i c}^{f d m}

$u_{\mathrm{parabolic}}^\mathrm{fdm}$

Δ t \to \infty

$\Delta t\rightarrow\infty$

pde convergence parabolic-pde elliptic-pde

— ポール
ソース

はい、ディリクレ境界条件を使用すると、常に定常状態に指数関数的に収束します。すべてのPDEブックには証明があります。数値的な観点からの良い説明については、LeVequeのFDM本の第2章を参照してください。

— デビッド・ケチェソン
ソース

混合条件（ノイマンとディリクレ）がある場合も同様です。

— ポール

@Paulはい、1Dの唯一の厄介なケースは、両方の境界がノイマンである場合です。

— David Ketcheson 2013年