異方性固体における波の安定性基準

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弾性固体の運動方程式は、

\begin{aligned} \nabla \cdot σ + f = ρ \ddot{u} \\ σ = C ε \\ ε = \frac{1}{2} (\nabla u + [\nabla u]^{T}) \end{aligned}

$\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{f} = \rho \ddot{\mathbf{u}}\\ &\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C}\boldsymbol{\varepsilon}\\ &\boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left(\nabla \mathbf{u} + [\nabla\mathbf{u}]^T\right) \end{align}$

またはインデックス表記

\begin{aligned} σ_{i j, j} + f_{i} = ρ \ddot{u_{i}} \\ σ_{i j} = C_{i j k l} ε_{k l} \\ ε = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i}) \end{aligned}

$\begin{align} &\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \ddot{u_i}\\ &\sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl}\\ &\varepsilon = \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i}) \end{align}$

$\mathbf{u}$ は変位ベクトル、 $\mathbf{f}$ は物体力（ソース項）、 $\boldsymbol{\sigma}$ は応力テンソル、 $\mathbf{\varepsilon}$ はひずみテンソル、 $\mathbb{C}$ は剛性テンソルです。等方性固体の場合、剛性テンソルは2つの異なる定数で記述されます。境界のないドメインの場合、方程式は非結合の2種類の波を認め、安定性の基準は2つの異なるケースの最悪のケース（つまり、、より高速なもの）。

以下のために横等方性材料テンソルを定義する5つの独立したパラメータ、および波（それらの2が結合している）の3種類があります。より一般的なケースでは、パラメーターの数は21で、波は結合されます。

質問：一般的な場合のタイムマーチングアルゴリズムの安定性の基準をどのようにして見つけますか？

— ニコワロ
ソース

1

「安定性」をどのように定義し、どのような基準を探していますか？

— Wolfgang Bangerth 2015

明示的な数値スキームの安定性を探しています。CFL条件に相当します。

— nicoguaro

6

このような波動方程式は、1次保存則の双曲線システムとして書き直すことができます。

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0.

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0.$

明示的な数値離散化の安定した時間ステップは、問題に現れる最大波速に比例するCFL数に依存します。その速度は、磁束関数ヤコビアンの固有値を計算し、最大値（絶対値）をとることによって見つけることができます。 $F$

寸法、持つ成分を、適切な分析は、これらの構成要素の任意の線形組み合わせの固有値を見つけることが必要です。ただし、弾性を含むほとんどのシステムでは、各成分の固有値を調べるだけで十分です。 $d$ $F$ $d$ $F$

この理論の良い参考文献は、有限体積法に関するLeVequeのテキストです。弾力性については、第22章で詳しく説明します。

CFL条件に関するすべての通常の警告が適用されます。これは、安定性のために必要ですが、通常は十分な条件ではありません。しかし、与えられた離散化の安定性のための十分な条件は、一般にCFL条件に定数を掛けることによって与えられます。安定性基準を見つけるには、（解く方程式に基づいて）最大波速度と（使用している離散化に基づいて）その定数の両方を知る必要があります。

— デビッド・ケチェソン
ソース

A

$A$

B

$B$

C

$C$

2

[ρ c^{2} δ_{i j} - C_{i j k l} n_{j} n_{l}] [u_{k}] = 0

$\begin{equation} [\rho c^2\delta_{ij} - C_{ijkl}n_jn_l][u_k]=0 \end{equation}$

ρ

$\rho$

c

$c$

δ

$\delta$

n_{j}

$n_j$

j

$j$

$\rho c^2$

したがって、3次元の異方性の場合でも、伝播の特定の方向に対して3つの異なる位相速度があり、その最大速度をCFL解析に使用する必要があります。等方性の問題。

— DanielRch
ソース

1

max_{θ, ϕ} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{\theta, \phi} \max_i{\lambda_i(\theta, \phi)}\\$

λ_{i}

$\lambda_i$

1

@DavidKetchesonが提供する答えを拡張します。最初に、方程式は一次保存則の双曲線システムとして書き直されます。

q_{t} + \nabla \cdot F (q) = 0

$q_t + \nabla \cdot F(q) = 0$

または

q_{t} + A q_{x} + B q_{y} + C q_{z} = 0

$q_t + A q_x + B q_y + C q_z = 0$

ここで、は応力テンソルのコンポーネント形成された状態ベクトルですおよび速度ベクトル成分。 $q$ $(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{13})$ $(u, v, w)$

q = (\begin{matrix} σ_{11} \\ σ_{22} \\ σ_{33} \\ σ_{12} \\ σ_{23} \\ σ_{13} \\ u \\ v \\ w \end{matrix}),

$q = \begin{pmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{12}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ u\\ v\\ w \end{pmatrix} \enspace ,$

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{11} & c_{16} & c_{15} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{12} & c_{26} & c_{25} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{13} & c_{36} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{14} & c_{46} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{56} & c_{55} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{66} & c_{56} \\ \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{11} & {c}_{16} & {c}_{15}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{12} & {c}_{26} & {c}_{25}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{13} & {c}_{36} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{14} & {c}_{46} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{56} & {c}_{55}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{66} & {c}_{56}\\ \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{16} & c_{12} & c_{14} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{26} & c_{22} & c_{24} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{36} & c_{23} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{46} & c_{24} & c_{44} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{25} & c_{45} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{66} & c_{26} & c_{46} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}),

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{16} & {c}_{12} & {c}_{14}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{26} & {c}_{22} & {c}_{24}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{36} & {c}_{23} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{46} & {c}_{24} & {c}_{44}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{25} & {c}_{45}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{66} & {c}_{26} & {c}_{46}\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace ,$

C = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{15} & c_{14} & c_{13} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{25} & c_{24} & c_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{35} & c_{34} & c_{33} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{45} & c_{44} & c_{34} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{55} & c_{45} & c_{35} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c_{56} & c_{46} & c_{36} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{ρ} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{15} & {c}_{14} & {c}_{13}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{25} & {c}_{24} & {c}_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{35} & {c}_{34} & {c}_{33}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{45} & {c}_{44} & {c}_{34}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{55} & {c}_{45} & {c}_{35}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {c}_{56} & {c}_{46} & {c}_{36}\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{\rho} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \enspace .$

（上記のように）問題の速度を計算するには、行列を作成する必要があります。ここで、は単位ベクトルで、伝播の方向を決定します。CFL状態を見つけるには、解決する必要があります $\hat{A}(n_1, n_2, n_3) = n_1 A + n_2 B + n_3 C$ $\mathbb{n}=(n_1, n_2, n_3)$

max_{(θ, ϕ)} max_{i} γ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \gamma_i(\theta, \phi)$

ここで、は球面角、は行列の固有値です。 $(\theta, \phi)$ $\gamma_i$ $\hat{A}(\theta, \phi)$

これと@DavidKetchesonによって提供される答えに基づいて、クリストッフェル方程式の固有値を計算し、最適化問題を解決する方が簡単です。

max_{(θ, ϕ)} max_{i} λ_{i} (θ, ϕ)

$\max_{(\theta, \phi)} \max_i \lambda_i(\theta, \phi)$

クリストッフェルの方程式の固有値。そして速度はちょうどです。 $\lambda_i$ $c = \sqrt{\lambda_i/\rho}$

— ニコワロ
ソース