正確な解を含むヘルムホルツおよび双調和方程式の例

私の数値解と比較するために、正確な解を持つデカルト座標のヘルムホルツ方程式と双調和方程式の例を探しています。

境界条件の問題が正確に定義されているインターネット上で、かなりの数の例を見つけることができました。残念ながら、これらは単なる例であり、正確な解決策は示されていません。

（math.stackexchange.comのように）ソリューションの製造について勇気づけられました。その場合、PDEのスペシャリストが認識しているいくつかの興味深い例は処理されないのではないかと恐れていました。たとえば、楕円形のBVPに関するWikipedaの記事にあるものは興味深いものです。

特定の例、またはWebページや論文への便利なリンクが評価されます。

アーサー・レイッサの本「プレートの振動」を探してください。正方形と円形のプレートに対して明確な解があります。異なる境界条件の近似固有値を持つテーブルを含みます。

$\phi=0$$\phi(x,y,z) = sin(k_x x)sin(k_y y)sin(k_z z)$$k_x/k_y/k_z$$k_x = n\pi/a$$k_y = m\pi/b$$k_z = p\pi/c$$div \, grad$$div\,grad \, \phi = k^2 \phi$$k_x,k_y,k_z$$k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$

これは、ベクトル波動方程式/マクスウェルの方程式（電磁気学）の標準的な料金です。スカラーヘルムホルツ方程式をあまりいじりませんでしたが、非常によく似た動作をするはずです。電磁共振器/ VWEには、バラニスの「Advanced Engineering Electromagnetics」をお勧めします。おそらくスカラーヘルムホルツ方程式に相当するリファレンスがあります（おそらく、大学院レベルの音響学のテキストですか）。

バイハーモニック方程式の経験はありません。