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一般的な問題 我々は多変数多項式の関数があるとし、およびいくつかの線形関数ℓ I（xと）。次の最適化問題の解決の複雑さについて何がわかっていますか？f(x)f(x)f(\mathbf{x})ℓi(x)ℓi(x)\ell_i(\mathbf{x}) MaximizeSubject to: f(x)ℓi(x)≤0 for all iMaximizef(x)Subject to: ℓi(x)≤0 for all i\begin{align*} \text{Maximize} & \;\; f(\mathbf{x}) \\ \text{Subject to: } & \;\, \ell_i(\mathbf{x}) \le 0\text{ for all } i \end{align*} 制約によって決定された領域は有界であると想定できます。 関連するがより具体的な問題 境界のあるポリトープ（一連の線形不等式の交差として表される）があるとします。ポリトープに完全に含まれる（軸に平行な）超長方形の最大体積を計算したい。この問題を解決する複雑さは何ですか？ これらの問題のいずれかに関するヘルプは大歓迎です。

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私は、古典的な時間の複雑さの下限を持つ問題をもっと探しています。一部の人々は、あなたがそのような下限をどのように証明できるか疑問に思うかもしれません。下記参照。PPP 指数下限： クレーム：あなたは問題がある場合されるE X P T I M Eは、多項式削減下-complete、定あるα ∈ Rように、Xがで解けるないO （2 N α）時間。 バツXXEバツPT私MEEXPTIMEEXPTIMEα ∈ Rα∈R\alpha \in \mathbb{R}バツXXO （2んα）O(2nα)O(2^{n^{\alpha}}) プルーフアイデア：時間階層定理により、問題がでO （2 N）にない時間O （2 n個YYYO （2ん）O(2n)O(2^n)時間。さらに、YからXへの多項式の削減が必要です。したがって、一定のあるCこの縮小サイズのインスタンスを取るように、NのためのYサイズのインスタンスにNCのためのXは。下行きYのO（2N 1 - ε）下行きに時間シフトXのO（2N 1 - εo （2んん）o(2nn)o(\frac{2^n}{n})YYYXXXcccnんnYYYncんcn^cXバツXYYYO(2n1−ϵ)O（2ん1−ε）O(2^{n^{1-\epsilon}})XバツX時間。O(2n1−ϵc)O（2ん1−εc）O(2^{n^{\frac{1-\epsilon}{c}}}) 多項式の下限： 一部の完全問題には、多項式時間問題への適切なパラメーター化があります。以前からの問題Xを考えます。我々はパラメータ化があるとKを - X用Xように：EXPTIMEEバツPT私MEEXPTIMEXバツXkkkXバツXXバツX 各固定について、k - Xは多項式時間です。kkkkkkバツバツX 直感的に存在し、これに、もちろん例外であるが、大きくなるkは - Xのための問題が難しくなるはずですXが下限指数時間複雑性を有します。kkkkkkバツバツXバツバツX 例： 浮上している問題の1つの例は、ツリーオートマトンの交差が空でないことです。つまり、ツリーオートマトンの有限リストが与えられた場合、すべてのオートマトンを同時に満たすツリーは存在しますか？ この問題は、ここで complete であることが示されました。さらに、オートマトンkの数によって交差問題をパラメーター化できます。それすることができる示した固定のためにそのK、交差問題は、時間複雑有するN Θ （kは）。EバツPT私MEEバツPT私MEEXPTIMEkkkkkkんΘ …

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\newcommand{\cc}[1]{\mathsf{#1}}次の行に沿った定理が成り立ちます：g(n)g(n)g(n)がf（n）より少し大きい場合f(n)f(n)f(n)、NTIME(g)∩coNTIME(g)≠NTIME(f)∩coNTIME(f)NTIME(g)∩coNTIME(g)≠NTIME(f)∩coNTIME(f)\cc{NTIME}(g) \cap \cc{coNTIME}(g) \neq \cc{NTIME}(f) \cap \cc{coNTIME}(f)？ 少なくとも、NP∩coNP≠NEXP∩coNEXPNP∩coNP≠NEXP∩coNEXP\cc{NP} \cap \cc{coNP} \neq \cc{NEXP} \cap \cc{coNEXP}であることを示すのは簡単です。証明：想定していない。次に、NEXP∩coNEXP⊆NP∩coNP⊆NP∪coNP⊆NEXP∩coNEXP,NEXP∩coNEXP⊆NP∩coNP⊆NP∪coNP⊆NEXP∩coNEXP,\cc{NEXP} \cap \cc{coNEXP} \subseteq \cc{NP} \cap \cc{coNP} \subseteq \cc{NP} \cup \cc{coNP} \subseteq \cc{NEXP} \cap \cc{coNEXP},そうNP=coNPNP=coNP\cc{NP} = \cc{coNP}、ひいては（パディングにより）NEXP=coNEXPNEXP=coNEXP\cc{NEXP} = \cc{coNEXP}。しかし、その後、私たちの仮定はNP=NEXPNP=NEXP\cc{NP} = \cc{NEXP}であることを意味し、非決定論的な時間階層定理に矛盾します。QED。 ただし、NP∩coNPNP∩coNP\cc{NP} \cap \cc{coNP}を\ cc {NSUBEXP} \ cap \ cc {coNSUBEXP}から分離する方法もわかりませんNSUBEXP∩coNSUBEXPNSUBEXP∩coNSUBEXP\cc{NSUBEXP} \cap \cc{coNSUBEXP}。この設定では対角化が難しいようです。

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映画の中で、インセプションコブはアリアドネに、デザインに2倍の時間がかかる迷路をデザインするように依頼しています。これは、ある程度のリソース制限があり、この問題が特定の複雑さのクラスにあることを確認する一般的な問題に役立ちます。この問題は、解決に時間がかかるか、スペースがかかることになります。これは新しい問題ですか？

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N PNP\mathsf{NP}が超多項式時間問題のクラスを含む場合、すなわち いくつかの機能のためのT ∈ Nω （1 ）t∈nω(1)t \in n^{\omega(1)}、D T I M E（T）⊆ N PDTIME(t)⊆NP\mathsf{DTIME}(t) \subseteq \mathsf{NP}、 P ⊊ N PP⊊NP\mathsf{P} \subsetneq \mathsf{NP} しかし、非決定性が決定論的な計算を高速化できる場合、他の興味深い重要な結果（つまり、\ mathsf {P} \ subsetneq \ mathsf {NP}の結果ではないP ⊊ N PP⊊NP\mathsf{P} \subsetneq \mathsf{NP}）はありますか？

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用、聞かせての頂点の集合であるの方向にスケーリング次元立方体をによって座標番目、すなわち 。d⃗ ∈Nnd→∈Nn\vec{d} \in \mathbb{N}^nQ(d⃗ )⊂NnQ(d→)⊂NnQ(\vec{d}) \subset \mathbb{N}^nnnniiididid_iQ(d⃗ ={⟨±d1,…,±dn⟩}Q(d→={⟨±d1,…,±dn⟩}Q(\vec{d} = \{\langle \pm d_1, \ldots, \pm d_n\rangle\} 次の問題を検討してください。 の点のセットと数与えられた場合、そのセットには長さ次元の算術列が含まれていますか？NnNn\mathbb{N}^nkkknnnkkk より正式には、 入力： 有限集合と正の整数与えられます。 X⊆NnX⊆NnX \subseteq \mathbb{N}^nk∈N+k∈N+k \in \mathbb{N}^+ 質問： あるとよう すべての整数？ → D ∈（N+）N → O +Q（I → D）⊆X0≤I≤Ko⃗ ∈Nno→∈Nn\vec{o}\in \mathbb{N}^nd⃗ ∈ （N+）んd→∈（N+）ん \vec{d} \in (\mathbb{N}^+)^no⃗ + Q （i d⃗ ）⊆ Xo→+Q（私d→）⊆バツ\vec{o}+ …

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コンパイラが最悪の場合の漸近分析を自動的に実行できるように、プログラミング言語とコンパイラの可能性について誰かが考えましたか？私が考えているユースケースは、コードを書いてコンパイルするプログラミング言語です。コンパイラーは、コードがO（n ^ 2）で実行されることを教えてくれます（たとえば）。これは、アルゴリズム分析を行う賢い人々が行うこと、おそらくループを数えることなどによって行われます。 問題の問題を停止するため、そしてP = NPの場合の多項式時間で実行されるSATのLevinアルゴリズムなど、ダブテールで機能するプログラムを使用できるため、プログラミング言語を十分に制限して、このようなもの。特定の種類のプログラミング言語がそのようなコンパイラーを使用できないようにする否定的な結果はありますか？ 正確な漸近分析ではなく、「興味深い」上限を与えるシステムにも興味があります。 私は特にしていないでブラックボックスと特定の長さの入力からのサンプルの統計的手法に興味を持って、プログラムにかかる時間を見つけます。これらの方法は非常に興味深いですが、私が探している方法ではありません。おおよその限界を与える正確な方法に興味があります。 誰かが私にこの方向での仕事についてのいくつかの参照を指摘してくれれば私は非常に感謝します。

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私が（主成分分析用に）作成したプログラムで分散共分散行列の計算を使用していて、その複雑さは何なのかと思っています。明らかに、固有ベクトル分解が最大のパフォーマンスヒットを引き起こしていますが、そのヒットのどの程度が共分散行列の計算によって引き起こされているのかと思います。 私が使用するように推定漸近実行時間はナイーブなアルゴリズムを使用して、そのサイズの全てのデータを用い取る必要があるため、Nを、次いで、すべての寸法のためにそれを行う必要があり（ここで、Nであります次元数）ネストされた反復で、n 2サイズの行列を生成します。O(N⋅n2)O(N⋅n2)O(N\cdot n^2)NNNnnnn2n2n^2 私の仮定は正しいですか、そうでなければ、漸近的な複雑さは何ですか？

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リンクカットツリーは、SleatorとTarjanによって発明されたデータ構造であり、時間におけるノードフォレストでのさまざまな操作とクエリをサポートし。（たとえば、オペレーションリンクはフォレスト内の2つのツリーを1つに結合し、オペレーションカットはフォレスト内のツリーを2つのツリーに分割します。）O （log n ）んnnO （ログn ）O(log⁡n)O(\log n) リンクカットツリーを使用することでいくつかのアプリケーションが知られています。ここでは特にノードの平面グラフが与えられるとノードがサブグラフである対応するバイナリツリーとその子が得られるグッドリッチのセパレーター分解に興味があります。ノードのサブグラフであるのセパレータで割っ。このような分解は時間で簡単に構築できます（セパレーターは時間で見つけることができるため、セパレーターはレベルの分離後にグラフをバランスよく分割するため、ツリーの葉のサイズはG G H H H O （n log n ）O （n ）O （log n ）O （1 ）んnnGGGGGGHHHHHHHHHO （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)O （n ）O(n)O(n)O （ログn ）O(log⁡n)O(\log n)O （1 ）O(1)O(1)）。Goodrichの主な貢献は、各レベルでセパレーターを見つけるために使用されるデータ構造を維持および再利用することにより、時間でそのような分解を構築できることです。O （n ）O(n)O(n) 構築で使用されているデータ構造の1つは、確かにリンクカットツリーです。Goodrichによる論文の 7ページで、リンクカットツリーの初期化は時間で実行できると彼は主張しました。そこに引用されているすべての論文を調べていますが、操作linkを使用してリンクカットツリーを作成すると、合計で時間がかかるようです。O （n ）O(n)O(n)O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n) 何か誤解していますか？リンクカットツリーの初期化は時間ますか？O （n ）O(n)O(n)

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与えられた文脈自由言語Gについて、場合、非終端の nullableを呼び出します。つまり、有限数のプロダクションを適用した後、から空の文字列を導出できます。A i → ∗ ϵ A iあ私AiA_i あ私→∗εAi→∗ϵA_i \rightarrow^* \epsilonあ私AiA_i ここで見つけることができるように、文法の非終端記号がnull可能であるかを決定するための単純なアルゴリズムがあります： 最初に、すべての非ターミナルをnull入力不可と見なすことから始めます。プロダクションがある場合、すべてのをnull可能としてマークします。次に、他のすべてのプロダクションをループ処理し、ターミナルが含まれるプロダクションを除外し、すべてのがnull 可能である場合は、をnull可能としてマークします。このループは、非終端記号をヌル可能としてマークせずにループが終了するまで続けます。A i → ϵ A i → B 1 B 2 … B k A i B iあ私AiA_iあ私→ ϵAi→ϵA_i \rightarrow \epsilonあ私→ B1B2… BkAi→B1B2…BkA_i \rightarrow B_1 B_2 \dots B_kあ私AiA_iB私BiB_i このアルゴリズムの私の問題は、実行時間がということです。最悪のケースは、例えば、、、...、、。A 1 → A 2 A 2 → A …

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nnn要素のソートされた配列を検索するために、次の2つのアルゴリズムを検討してください。 A）並列にシミュレートされた補間検索とバイナリ検索、および B）補間ステップとバイナリステップを交互に検索します。 どちらのアルゴリズムも、最悪の場合の複雑度2lgn+12lg⁡n+12\lg n+1（妥当な分布の場合は平均複雑度2lglgn2lg⁡lg⁡n2\lg\lg n）です。これらの2つのアルゴリズムを分離できる複雑なモデルはありますか（一方が他方よりも優れていることを表す）？特に、並列シミュレーションが混合検索アルゴリズムよりも優れている例はありますか？ ---いくつかの基本的な背景--- 1）位置iとjの間のソートされた配列Tの要素補間は、位置g = i + （j − i ）/（T [ j ] − T [ i ] ）∗ （x − T [ i ]で比較を行います）、検索間隔を[ i 、g ]または] g 、j ]に短縮しますxxxTTTiiijjjg=i+(j−i)/(T[j]−T[i])∗(x−T[i])g=i+(j−i)/(T[j]−T[i])∗(x−T[i])g=i+(j-i)/(T[j]-T[i])*(x-T[i])[i,g][i,g][i,g]]g,j]]g,j]]g,j]結果に従って（xxxを位置の要素と比較するバイナリ検索とは対照的に(i+j)/2(i+j)/2(i+j)/2） 2lgn+12lg⁡n+12\lg n+1AAABBBf(n)f(n)f(n)g(n)g(n)g(n)AAABBB2min{f(n),g(n)}∈O(minf(n),g(n))2min{f(n),g(n)}∈O(minf(n),g(n))2\min\{f(n),g(n)\}\in O(\min{f(n),g(n)})2lgn+12lg⁡n+12\lg n+1 同様に、検索間隔は、2つの比較ごとに少なくとも2つずつ減少します。

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