CFGで空の文字列を生成する非ターミナルをすばやく見つける

与えられた文脈自由言語Gについて、場合、非終端の nullableを呼び出します。つまり、有限数のプロダクションを適用した後、から空の文字列を導出できます。A i → ∗ ϵ A $A_i$ $A_i \rightarrow^* \epsilon$$A_i$

ここで見つけることができるように、文法の非終端記号がnull可能であるかを決定するための単純なアルゴリズムがあります：

最初に、すべての非ターミナルをnull入力不可と見なすことから始めます。プロダクションがある場合、すべてのをnull可能としてマークします。次に、他のすべてのプロダクションをループ処理し、ターミナルが含まれるプロダクションを除外し、すべてのがnull 可能である場合は、をnull可能としてマークします。このループは、非終端記号をヌル可能としてマークせずにループが終了するまで続けます。A i → ϵ A i → B 1 B 2 … B k A i B $A_i$$A_i \rightarrow \epsilon$$A_i \rightarrow B_1 B_2 \dots B_k$$A_i$$B_i$

このアルゴリズムの私の問題は、実行時間がということです。最悪のケースは、例えば、、、...、、。A 1 → A 2 A 2 → A 3 A 3 → A 4 A n − 1 → A n A n → $O(n^2)$$A_1 \rightarrow A_2$$A_2 \rightarrow A_3$$A_3 \rightarrow A_4$$A_{n-1} \rightarrow A_n$$A_n \rightarrow \epsilon$

よりも実行時間が短いこの問題のアルゴリズムはあり ますか？$O(n^2)$

次のようにそのアルゴリズムを線形時間で実装することはできませんか？（私はこれを注意深く校正していないため、バグが発生する可能性があります。）

以下で「プロダクション」と言うときはいつでも、端末を含まないものだけを含めることを意味します。それはに表示さプロダクション、各非終端のために、リストを作成します。すべての生産のために聞かせて右手側の非端子が現在非NULL可能とマークされているどのように多くの異なる数を。レッツ NULL可能マークが、まだ処理されていないされている非端末のキューを示します。すべてのを、プロダクション右側にある個別の非ターミナルの数に初期化します。すべての非端末をnullにできないように初期化します。すべての非端末に対する生産によって生成されたと加算にc i Q c i i Z i c i = 0 Z Q $i$$c_i$$Q$$c_i$$i$$Z$$i$$c_i=0$$Z$$Q$およびをヌル可能としてマークします。$Z$

ながら空でない、任意の非末端削除から、次のように処理します。すべての生産のためのという、デクリメントである。場合ゼロになると、対応する非ターミナルかどうかをチェックしすでにNULL可能とマークされています。そうでない場合は、ヌル可能としてマークし、を追加します。X Q j X c j c j Y Y Y $Q$$X$$Q$$j$$X$$c_j$$c_j$$Y$$Y$$Y$$Q$