リンクカットツリーの初期化時間はどれくらいですか？

リンクカットツリーは、SleatorとTarjanによって発明されたデータ構造であり、時間におけるノードフォレストでのさまざまな操作とクエリをサポートし。（たとえば、オペレーションリンクはフォレスト内の2つのツリーを1つに結合し、オペレーションカットはフォレスト内のツリーを2つのツリーに分割します。）O （log n $n$$O(\log n)$

リンクカットツリーを使用することでいくつかのアプリケーションが知られています。ここでは特にノードの平面グラフが与えられるとノードがサブグラフである対応するバイナリツリーとその子が得られるグッドリッチのセパレーター分解に興味があります。ノードのサブグラフであるのセパレータで割っ。このような分解は時間で簡単に構築できます（セパレーターは時間で見つけることができるため、セパレーターはレベルの分離後にグラフをバランスよく分割するため、ツリーの葉のサイズはG G H H H O （n log n ）O （n ）O （log n ）O （1 $n$$G$$G$$H$$H$$H$$O(n \log n)$$O(n)$$O(\log n)$$O(1)$）。Goodrichの主な貢献は、各レベルでセパレーターを見つけるために使用されるデータ構造を維持および再利用することにより、時間でそのような分解を構築できることです。$O(n)$

構築で使用されているデータ構造の1つは、確かにリンクカットツリーです。Goodrichによる論文の 7ページで、リンクカットツリーの初期化は時間で実行できると彼は主張しました。そこに引用されているすべての論文を調べていますが、操作linkを使用してリンクカットツリーを作成すると、合計で時間がかかるようです。$O(n)$$O(n \log n)$

何か誤解していますか？リンクカットツリーの初期化は時間ますか？$O(n)$

次の解決策を提供してくれた国立台湾大学の先生であるHsueh-I Luに感謝します。

答えはかなり単純です。データ構造の初期化では、サポートするクエリと操作によって構造を構築する必要はありません。もちろん、リンク操作でツリーを構築する場合のように、構築中にクエリを実行することはできません。しかし、このセパレーター分解アプリケーションでは、それは必要ありません。

つまり、セパレータ分解への適用において、ツリーL（Tの構造と値を計算する代わりに、入力グラフG上のスパニングツリーTのリンクカットツリーL（T）を構築する必要がある場合）リンク操作により、ツリーTの重いパスの分解を直接計算し、各パスに対応するバイナリツリー構造を構築し、パスの分解に従ってバイナリツリーを接着します。すべてのステップは線形時間で実行できます。

L（T）のノードの必要な値ごとに、バイナリツリー構造に値を割り当ててツリーを接着するときに更新するのではなく、各値を線形時間でTから計算できるため、事前計算された値を割り当てます最終リンクカットツリーL（T）のノードに直接。割り当てる必要があるのは定数タイプの値のみであり、これも線形時間で行うことができます。

「データ構造とネットワークアルゴリズム」の第5.1章。あなたが引用した論文の43は、それが答えを持つかもしれないようです：

http://books.google.com/books?id=JiC7mIqg-X4C&lpg=PP1&ots=8frbjj8vL0&dq=data%20structures%20and%20network%20algorithms&pg=PA59#v=onepage&q&f=false

...この問題の説明では、「m」を使用して操作の数を示し、「n」を使用して頂点の数（maketree操作）を示します。この問題を解決する1つの方法は、各頂点にその親とそのコストを格納することです。この表現では、各maketree、link、またはcut操作にはO（1）時間かかり、各findroot、findcost、またはaddcost操作には入力頂点の深さ（O（n）...）に比例して時間がかかります...

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