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スペクトルグラフ理論によってのみ得られた証明
スペクトルグラフ理論への関心が高まっており、それが魅力的だと感じており、これまでよりも徹底的に読んでいないドキュメントをいくつか収集し始めました。 しかし、いくつかの情報源（たとえば、向こう）に現れた声明には興味があります。本質的には、グラフ理論の結果の一部はスペクトルベースの手法のみを使用して証明されており、今のところ、これらの手法をバイパスすることは知られています。 これをスキップしない限り、これまで読んだ文献でそのような例を目にしたことを思い出せません。そのような結果の例を知っていますか？
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グラフのスペクトル分割に関するクレジット
場合無向である -regularグラフ及びカーディナリティの頂点のサブセットである、呼び出しエッジ膨張の量をD S ≤ | V | / 2G = （V、E）G=（V、E）G=(V,E)dddSSS≤ | V| / 2≤|V|/2\leq |V|/2SSS ϕ(S):=Edges(S,V−S)d⋅|S|⋅|V−S|ϕ（S）：=Edges（S、V−S）d⋅|S|⋅|V−S|\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|} ここで、内の1つのエンドポイントとエッジの数であり、とで一方のエンドポイント。そして、拡張エッジの問題は、設定された見つけることですで最小にする。最適セットの展開と呼びます。A BEdges(A,B)Edges（A、B）Edges(A,B)AAABBB| S | ≤ | V | / 2 ϕ （S ）ϕ （G ）SSS|S|≤|V|/2|S|≤|V|/2|S|\leq |V|/2ϕ(S)ϕ(S)\phi(S)ϕ(G)ϕ(G)\phi(G) スペクトル分割アルゴリズムエッジ拡張の問題のためには、固有ベクトル見つけることによって動作しの二番目に大きい固有値のの隣接行列、およびすべての``しきい値セット「」考慮形のすべてのしきい値を超える。我々が許可すればの二番目に大きい固有値であるマトリックス、最良の閾値を設定することをスペクトル分割アルゴリズムショーの分析アルゴリズムを満足することにより見出さA G S { V ：X （V ）≤ T } T λ …
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逆グラフスペクトル問題？
通常、グラフを作成してから、隣接行列（またはラプラシアンのような近親）固有値分解（グラフのスペクトルとも呼ばれます）について質問します。 しかし、逆の問題はどうですか？固有値が与えられた場合、このスペクトルを持つグラフを（効率的に）見つけることができますか？nnn 私は一般的にこれを行うのは難しいと思います（そしてGIと同等かもしれません）が、いくつかの条件を少し緩和するとどうなりますか？固有値の多重度がないという条件を作成するとどうなりますか？距離メトリックによって「近い」スペクトルを持つグラフを許可するのはどうですか？ 任意の参照またはアイデアを歓迎します。 編集： Sureshが指摘しているように、自己ループを持つ無向の重み付きグラフを許可すると、この問題は非常に簡単になります。私は、無向、無加重の単純なグラフのセットで答えを得たいと思っていましたが、単純な無加重の有向グラフにも満足しています。
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Cheeger定数は困難ですか？
グラフのチーガー定数を決定することは -hard であると、数え切れないほど多くの記事を読みました。それは民俗定理のように思えますが、この声明の引用も証拠も見つけたことがありません。誰にクレジットを与えるべきですか？古い論文（Isoperimetric Numbers of Graphs、J. Comb。Theory B、1989）で、Moharはこの主張を「複数のエッジを持つグラフについて」だけ証明しています。N PNP\mathsf{NP}
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スパニングツリーの数を高速にカウントする
t(G)t(G)t(G)GGGnnnt(G)t(G)t(G)O(n3)O(n3)O(n^3)QG1n2det(J+Q)1n2det(J+Q)\frac{1}{n^2} \det(J + Q)QQQGGG1JJJ111 t(G)t(G)t(G)より高速に計算する方法があるのだろうか。（はい、行列式の計算にはO(n3)O(n3)O(n^3)アルゴリズムよりも高速ですが、新しいアプローチに興味があります。） また、グラフの特別なファミリ（平面、多分？）を検討することにも関心があります。 たとえば、循環グラフの場合、t(G)t(G)t(G)はO(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)算術演算で恒等t（G）= \ frac {1} {n} \ lambda_1 \ dotsm \ lambda_ {n-1を介して計算できます。}t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G)=1nλ1⋯λn−1t(G) = \frac{1}{n} \lambda_1 \dotsm \lambda_{n-1}、ここでλiλi\lambda_iはGのラプラシアン行列の非ゼロの固有値でありGGG、巡回グラフですばやく計算できます。（最初の行を多項式として表し、それを単位のnnn番目の根で計算します。このステップは離散フーリエ変換を使用し、O(nlgn)O(nlg⁡n)O(n \lg n)算術演算で実行できます。） どうもありがとうございました！
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量子エキスパンダーの背後にある幾何学的な図
（こちらも質問、返信なし） （d、λ ）（d、λ）(d,\lambda)νν\nuうん（d）うん（d）\mathcal{U}(d)| S U P P ν | =d|sあなたはpp ν|=d|\mathrm{supp} \ \nu| =d∥ Eうん〜νうん⊗ U†− Eうん〜μHうん⊗ U†∥∞≤ λ‖Eうん〜νうん⊗うん†−Eうん〜μHうん⊗うん†‖∞≤λ\Vert \mathbb{E}_{U \sim \nu} U \otimes U^{\dagger} - \mathbb{E}_{U \sim \mu_H} U \otimes U^{\dagger}\Vert_{\infty} \leq \lambdaμHμH\mu_Hddd ハローとローによって。 私の質問は-量子エキスパンダーは、古典的なエキスパンダー（スペクトルギャップアイソペリメトリー/基になるグラフの拡大）に似た幾何学的解釈を許可しますか？「幾何学的実現」を正式に定義するわけではありませんが、概念的には、純粋にスペクトル基準を何らかの幾何学的画像に変換できることを期待できます（これは、古典的な場合、エキスパンダーが享受する数学的豊かさの源であり、量子の数学的構造エキスパンダーははるかに制限されているようです）。〜〜\sim
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グラフラプラシアン（逆）共分散による多変量ガウスからのサンプリング
たとえば、Koutis-Miller-Peng（Spielman＆Tengの研究に基づく）から、非負のエッジ重みを持つスパースグラフのグラフラプラシアン行列である行列Aの線形システムAx=bAx=bA x = bを非常に迅速に解くことができることがわかります。 。AAA ここで（最初の質問）これらのグラフラプラシアン行列 1つをAAA共分散として使用するか、（2番目の質問）平均ゼロの多変量正規分布の逆共分散行列または。これらの各ケースについて、2つの質問があります。N(0,A)N(0,A)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A)N(0,A−1)N(0,A−1)\mathcal{N}(\boldsymbol{0}, A^{-1}) A.この分布からどのくらい効率的にサンプルを抽出できますか？（通常、サンプルを描画するには、コレスキー分解を計算し、標準法線描画してから、としてサンプルを計算します）。A=LLTA=LLTA = LL^Ty∼N(0,I)y∼N(0,I)y \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, I)x=L−1yx=L−1yx = L^{-1} y B.の行列式をどれだけ効率的に計算できますか？AAA これらは両方ともコレスキー分解があれば簡単に解決できることに注意してください。しかし、上記で参照した手法を使用しない標準スパースコレスキーアルゴリズムを使用するよりも効率的にを抽出する方法はすぐにはわかりません。動作しますが、これはまばらだが高ツリー幅のグラフでは立方体の複雑さを持ちます。LLL
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グラフの最大不均衡？
LET 連結グラフであるG = （V 、E ）ノードとV = 1 ... NとエッジEを。ましょうwはiはグラフの（整数）重量表すGを用いて、Σ iは、wは、I = Mグラフの総重量。ノード当たりの平均重量は、次にあるˉ W = M / N。ましょうE I = W I - ˉ Wノードの示す偏差GGGG=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)V=1…nV=1…nV = 1 \dots nEEEwiwiw_iGGG∑iwi=m∑iwi=m\sum_i w_i = mw¯=m/nw¯=m/n\bar w = m/nei=wi−w¯ei=wi−w¯e_i = w_i - \bar wは平均から。呼び出す | e i | ノード iの不均衡。iii|ei||ei||e_i|iii 任意の2つの間の重量と仮定隣接ノードはせいぜいによって異なる可能性が、すなわち、 wはI …
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情報および符号化理論におけるスペクトルグラフ理論の応用
情報とコーディング理論、そしておそらくコミュニケーションの分野でのSGTの応用例を知りたいと思いました。頭に浮かぶのは、エキスパンダーコードに関する作業です。 Michael SipserおよびDaniel Spielman、「Expander Codes」、IEEE Transactions on Information Theory、Vol 42、No 6、pp。1710-1722。1996 他の例？
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小集合拡大予想について
グラフとδ > 0が与えられた場合、h （G 、δ ）= m i n |を計算したいとします。S | ≤ δ | V | ϕ （S ）。（φ （S ）= E （S 、ˉ S）G = （V、E）G=(V,E)G=(V,E)δ> 0δ>0\delta > 0h （G 、δ）= m i n| S| ≤ δ| V|ϕ （S）h(G,δ)=min|S|≤δ|V|ϕ(S)h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)）が、これは以下であるかどうかを決定するためにNP困難であることを``小集合膨張推測」状態ε以上1-ε用ε=1/O（LOG（1ϕ （S）= E（S、S¯）dm …
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有向グラフのスペクトルの二分法
対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。 有向グラフことが知られている隣接行列有するA （G ）、その固有値バイナリである{ 0 、1 }あればGは、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点v 1、の列挙が修正されます。。、v nであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、0 / 1のエントリを持つ上三角行列になります。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)A(G)A(G)A(G){0,1}{0,1}\{0,1\}GGGv1,..,vnv1,..,vnv_1,.., v_n0/10/10/1 しかし、GGGがもう一方の端である場合、つまりGGGがnnn個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。 一般に、特性多項式をA(G)A(G)A(G)計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、A(G)A(G)A(G)である{0,1}{0,1}\{0,1\}マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。 ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。 ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。 ： Gを n個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値 A Gは実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値 λように iがm個（λ ）≥ 1 / P O LのY （N ）。Conjecture: Dichotomy of eigenvaluesConjecture: Dichotomy of eigenvalues\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}GGGnnnAGAGA_Gλλ\lambdaim(λ)≥1/poly(n)im(λ)≥1/poly(n)im(\lambda)\geq 1/poly(n) そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか？あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか？
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グラフの隣接行列の小さい固有値の境界
3番目に、（重み付けされていない）隣接行列の最小の固有値まで、既知の（自明ではない）境界（グラフのポリタイム計算可能プロパティに基づく組み合わせの性質）がありますか？たとえば、最大の固有値は次の範囲 ための上記の風味のあるものλI、I≥3？（これらは負、（下）バウンディングことができることを考える|λI|より魅力的に見えるかもしれません。）max(dmax−−−−√,dave)≤λmax=λ1≤dmaxmax(dmax,dave)≤λmax=λ1≤dmax\max(\sqrt{d_{\max}}, d_{\text{ave}})\le \lambda_{\max}=\lambda_1 \le d_{\max}λiλi\lambda_ii≥3i≥3i\ge 3|λi||λi||\lambda_i|
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グラフラプラシアンの代数的接続性における異なるグラフ操作の影響？
グラフG の代数的接続性は、Gのラプラシアン行列の2番目に小さい固有値です。この固有値は、Gが接続されたグラフである場合に限り、0より大きくなります。この値の大きさは、グラフ全体の関連性を反映しています。 例として、「自己ループの追加」はグラフのラプラシアン固有値（特に代数的接続性）を変更しません。なぜなら、laplacian（G）= DAは自己ループの追加に関して不変だからです。 私の質問は： ラプラシアンのスペクトルに対するさまざまな演算（エッジ収縮など）の影響を研究した人はいますか？あなたは良い参考文献を知っていますか？ 備考：代数的接続の正確な定義は、使用するラプラシアンのタイプによって異なります。この質問では、スペクトルグラフ理論でファンチョンの定義を使用することを好みます。この本では、ファンチョンはラプラシアンの再スケーリングされたバージョンを使用して、頂点の数への依存を排除​​しました。
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