有向グラフのスペクトルの二分法
対称行列に対応する無向グラフのスペクトルと比較すると、有向グラフのスペクトルはあまり知られていません。 有向グラフことが知られている隣接行列有するA (G )、その固有値バイナリである{ 0 、1 }あればGは、環状であるが。次に、頂点を強く接続されたコンポーネントにソートします。これにより、頂点v 1、の列挙が修正されます。。、v nであり、この順序に従って並べ替えられたラプラシアンは、0 / 1のエントリを持つ上三角行列になります。G=(V,E)G=(V,E)G = (V,E)A(G)A(G)A(G){0,1}{0,1}\{0,1\}GGGv1,..,vnv1,..,vnv_1,.., v_n0/10/10/1 しかし、GGGがもう一方の端である場合、つまりGGGがnnn個の頂点で強く接続されたグラフである場合に知られていることは、頂点のペア間に有向パスがあることを意味します。 一般に、特性多項式をA(G)A(G)A(G)計算し、その根を計算する必要があります。かかわらず、A(G)A(G)A(G)である{0,1}{0,1}\{0,1\}マトリックスこれは困難なタスクのように思えます。特に、この多項式の根は一般に複素数です。 ペロン・フロベニウスの定理は、少なくとも最上部の固有値が実在し、単純であることを意味しますが、残りの固有値に関する情報を明らかにしません。 ただし、次の形式の非常に弱い境界にのみ関心がある場合はどうでしょうか。 : Gを n個の頂点の有向グラフとする。次いで、いずれかのすべての固有値 A Gは実数であるか、または少なくとも一つ存在する固有値 λように iがm個(λ )≥ 1 / P O LのY (N )。Conjecture: Dichotomy of eigenvaluesConjecture: Dichotomy of eigenvalues\textbf{Conjecture: Dichotomy of eigenvalues}GGGnnnAGAGA_Gλλ\lambdaim(λ)≥1/poly(n)im(λ)≥1/poly(n)im(\lambda)\geq 1/poly(n) そのような境界は、既知の定理から取るに足らないものですか?あるいは、有向グラフは、指数関数的に小さい虚数成分を持つ固有値を持つことができますか?