タグ付けされた質問 「randomized-algorithms」

その動作がその入力と一様に乱数を生成するジェネレータによって決定されるアルゴリズム。

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ランダム化がアルゴリズムを高速化するのはいつですか？
が含まれているというAdlemanの証明は、サイズ入力で時間で実行される問題のランダム化アルゴリズムがある場合、時間で実行される問題の決定論的アルゴリズムがあることを示していますサイズ入力に対する [アルゴリズムは、独立ランダム文字列でランダム化アルゴリズムを実行します。すべての適した繰り返しアルゴリズムにはランダム性が必要ですBPPBPPBPPP/polyP/polyP/polyt(n)t(n)t(n)nnnΘ(t(n)⋅n)Θ(t(n)⋅n)\Theta(t(n)\cdot n)nnnΘ(n)Θ(n)\Theta(n)2n2n2^n可能な入力]。決定論的アルゴリズムは不均一です-入力サイズが異なると動作が異なる場合があります。したがって、Adlemanの議論は、均一性を気にしない場合、ランダム化は入力サイズが線形の係数だけアルゴリズムを高速化できることを示しています。 ランダム化が計算を高速化する具体的な例は何ですか（私たちの知る限り）？ 1つの例は、多項式同一性テストです。ここで、入力はフィールド上でm変数の多項式を計算するnサイズの演算回路であり、タスクは多項式がゼロであるかどうかを調べることです。ランダム化されたアルゴリズムはランダムポイントで多項式を評価できますが、私たちが知っている最高の決定論的アルゴリズム（およびおそらく存在する最高のアルゴリズム）は多くのポイントで多項式を評価します。 Chazelleで最高の決定論的アルゴリズムは、時間で実行しながら、別の例は、カーガー-クライン- Tarjanで最高の無作為化アルゴリズムは線形時間（及び誤り確率が指数関数的に小さい！ある）された木を、最小全域さ（は逆アッカーマン関数であるため、ランダム化の高速化は非常に小さいです）。興味深いことに、最小スパニングツリーに不均一な決定論的線形時間アルゴリズムが存在する場合、均一な決定論的線形時間アルゴリズムも存在することがPettieとRamachandranによって証明されました。O(mα(m,n))O(mα(m,n))O(m\alpha(m,n))αα\alpha 他の例は何ですか？ランダム化の高速化が大きい場合、どの例を知っていますか？しかし、これはおそらく、十分に効率的な決定論的アルゴリズムがまだ見つかっていないからでしょうか？
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を含む結果
多くの人はと信じています。ただし、が多項式階層の第2レベル、つまりことしかわかりません。示す向かっステップmathsfは{BPP} = \ mathsf {P}は\多項式階層の最初のレベルにそれをダウンさせる、すなわち、最初にある\ mathsf {BPP} \ subseteq \ mathsf {NP} 。B P P B P P ⊆ Σ P 2 ∩ Π P 2 B P P = PBPP=P⊆NPBPP=P⊆NP\mathsf{BPP} = \mathsf{P} \subseteq \mathsf{NP}BPPBPP\mathsf{BPP}BPP⊆ΣP2∩ΠP2BPP⊆Σ2P∩Π2P\mathsf{BPP}\subseteq \Sigma^ \mathsf{P}_2 \cap \Pi^ \mathsf{P}_2BPP=PBPP=P\mathsf{BPP} = \mathsf{P}BPP⊆NPBPP⊆NP\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{NP} 封じ込めは、非決定性が少なくとも多項式時間のランダム性と同じくらい強力であることを意味します。 また、問題に対して効率的な（多項式時間）ランダム化アルゴリズムを使用して回答を見つけることができる場合、効率的に（多項式時間で）回答を検証できることも意味します。 \ mathsf {BPP} \ …
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決定論が難しい効率的でシンプルなランダム化アルゴリズム
多くの問題について、非常にエレガントなランダム化アルゴリズムを知っているが、決定的な解決策がないか、より複雑なだけであるとよく耳にします。ただし、これについてはほんのいくつかの例を知っています。最も顕著に ランダム化クイックソート（および関連する幾何学的アルゴリズム、たとえば凸包用） ランダム化されたミンカット 多項式IDテスト クレーの測定問題 これらのうち、ランダム性を使用しないと多項式の同一性テストのみが本当に難しいようです。 ランダム化された解決策は非常にエレガントまたは非常に効率的ですが、決定論的解決策はそうではない問題の例をもっと知っていますか？理想的には、問題は素人向けの動機付けが容易でなければなりません（たとえば、多項式の同一性テストとは異なります）。
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決定論的に「見える」ランダム化アルゴリズム？
内部のランダム性に関係なく常に同じ（正しい）回答を出力するが、予想される実行時間が既知の最速の実行時間よりも良いようにランダム性を活用する、検索問題のランダム化アルゴリズムの興味深い例はありますか問題の決定論的アルゴリズム？ 特に、nと2nの間の素数を見つけるためのそのようなアルゴリズムがあるかどうか疑問に思っていました。既知の多項式時間決定論的アルゴリズムはありません。間隔でランダムな整数をサンプリングするだけで機能する単純なランダム化アルゴリズムがあります。これは素数定理のおかげで機能します。しかし、予想実行時間が2つの中間である上記の種類のアルゴリズムはありますか？ 編集：私の質問をわずかに絞り込むために、多くの可能な正しい出力があり、しかもランダム化されたアルゴリズムがそのランダム性に依存しないものに落ち着く問題のために、このようなアルゴリズムが欲しかった。質問がおそらく完全に指定されていないことを理解しています...
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均一なRNCはポリログ空間に含まれていますか？
対数空間均一NCは、決定論的ポリログ空間（場合によってはPolyLと記述される）に含まれます。log-space-uniform RNCもこのクラスにありますか？PolyLの標準ランダムバージョンはPolyLにあるはずですが、（均一な）RNCがrandom-PolyLにあることはわかりません。 私が見る難しさは、RNCでは、回路が必要なだけ「ランダムビットを見る」ことができるということです。つまり、ランダム入力は任意のファンアウトを持つことができます。しかし、PolyLのランダムバージョンでは、ランダムビットのテープが必要なだけ見られるわけではありません。むしろ、各タイムステップでコインをフリップすることのみが許可されています。 ありがとう！
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「現代の」コンピューターサイエンスが登場する前の確率的（ランダム化）アルゴリズム
編集：2012年12月6日までに最高スコアの回答を選択します。 これは簡単な質問です。 （決定的）アルゴリズムの概念は、BCにまでさかのぼります。確率的アルゴリズムはどうですか？ ではこのwikiエントリ、計算幾何学における最も近いペアの問題のためのラビンのアルゴリズムは、最初の無作為化アルゴリズム（年???）として与えました。リプトンは、ここでのランダムアルゴリズムの現代の始まりとしてRabinのアルゴリズムを導入しましたが、最初のアルゴリズムとしてではありません。また、1960年代に発見された確率的有限オートマトン（非常に単純な計算モデル）の多くのアルゴリズムを知っています。 1960年代以前であっても、確率的/ランダム化されたアルゴリズム（または方法）を知っていますか？ または どの発見が最初の確率的/ランダム化アルゴリズムとみなされますか？
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Karger-Stein分岐増幅の他のアプリケーション？
大学院のアルゴリズムクラスでKarger-Steinランダムミンカットアルゴリズムを教えました。これは本当のアルゴリズムの宝石なので、教えることはできませんが、メインテクニックの他のアプリケーションを知らないので、常にイライラさせられます。（だから、ポイントを家に導く宿題を割り当てるのは難しい。） Karger and Steinのアルゴリズムは、以前のKargerのアルゴリズムを改良したもので、グラフの頂点が2つだけになるまでランダムなエッジを繰り返し縮小します。この単純なアルゴリズムは時間で実行され、確率Ω （1 / n 2）で最小カットを返します。ここで、nは入力グラフの頂点の数です。洗練された「再帰的収縮アルゴリズム」は、頂点の数がnからn / √に低下するまでランダムエッジを繰り返し収縮します。O(n2)O(n2)O(n^2)Ω(1/n2)Ω(1/n2)\Omega(1/n^2)nnnnnn、残りのグラフで再帰的に自分自身を2回呼び出し、結果の2つのカットのうち小さい方を返します。洗練されたアルゴリズムの簡単な実装は、O（n2logn）時間で実行され、確率Ω（1/logn）で最小カットを返します。（これらのアルゴリズムのより効率的な実装と、より優れたランダム化アルゴリズムがあります。）n/2–√n/2n/\sqrt{2}O(n2logn)O(n2log⁡n)O(n^2\log n)Ω(1/logn)Ω(1/log⁡n)\Omega(1/\log n) 同様の分岐増幅技術を使用するランダム化アルゴリズムは他にありますか？私は、グラフのカットを（明らかに）含まない例に特に興味があります。
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誰が最初にモンテカルロアルゴリズムを使用してPiを計算することを提案しましたか？
18世紀のBuffonの針の実験は誰もが知っていると思います。これはを計算する最初の確率的アルゴリズムの1つです。ππ\pi コンピューターでのアルゴリズムの実装では、通常または三角関数を使用する必要があります。これは、それらが切り捨てられたシリーズとして実装されている場合でも、目的を無効にします。ππ\pi この問題を回避するために、よく知られた拒否方法アルゴリズムがあります。単位正方形に座標を描き、それらが単位四分円に属しているかどうかを確認します。これは、2つの一様な実数とを（0,1）に描画し、それらを場合にのみカウントすることにあります。最終的に、保持されている座標の数を座標の総数で割ると、近似値になります。、Y 、X 2 + Y 2 &lt; 1個のπバツxxyyyバツ2+ y2&lt; 1x2+y2&lt;1x^2+y^2 < 1ππ\pi この2番目のアルゴリズムは通常、Buffonの針として渡されますが、かなり異なると考えられています。残念ながら、私はそれを誰が始めたのか追跡することができませんでした。誰が、いつ、このアイデアが生まれたのかについての情報（文書化されている、または最悪の場合は文書化されていない）を持っていますか？
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P = RPにはどのような具体的な証拠がありますか？
RPは、多項式時間で終了する非決定的チューリングマシンによって決定可能な問題のクラスですが、片側エラーも許容されます。Pは、多項式時間で終了する決定論的チューリングマシンによって決定可能な問題の通常のクラスです。 P = RPは、回路の複雑さの関係から得られます。ImpagliazzoとWigdersonは、決定論的な指数時間で決定できる問題にも指数サイズの回路が必要な場合、P = BPPが続くことを示しました（P = BPPはP = RPを意味することに注意してください）。おそらくこれらの結果のために、いくつかの複雑性理論家の間で、確率的削減はおそらくランダム化を解除できると考えているようです。 P = RP という他の具体的な証拠はありますか？
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結合木問題のランダム化されたクエリの複雑さ
チャイルズらによる2003年の重要な論文。「結合木問題」を導入しました。これは、私たちが知っているような他のどのような問題とも異なる指数関数的量子高速化を認める問題です。この問題では、次の図のような指数関数的に大きなグラフが与えられます。これは、深さがnの2つの完全な二分木で構成され、その葉はランダムサイクルで互いに接続されています。ENTRANCE頂点のラベルが提供されます。また、任意の頂点のラベルを入力として与え、その隣接のラベルを伝えるオラクルも提供されます。私たちの目標は、EXIT頂点を見つけることです（これは、ENTRANCE頂点以外のグラフ内の唯一の次数2の頂点として容易に認識できます）。ラベルは長いランダムな文字列であると想定できるため、圧倒的な確率で、ENTRANCE頂点以外の頂点は、oracleによって与えられます。 チャイルズら。クォンタムウォークアルゴリズムは、このグラフを簡単にたどり、poly（n）ステップ後にEXIT頂点を見つけることができることを示しました。対照的に、彼らはまた、任意の古典的なランダム化アルゴリズムが高い確率でEXIT頂点を見つけるためにexp（n）ステップを必要とすることを示しました。彼らは下限をΩ（2 n / 6）と述べたが、彼らの証明を詳しく調べるとΩ（2 n / 2）が得られると思う。直感的には、これは圧倒的な確率で、グラフ上のランダムウォーク（自己回避ウォークなど）が指数関数的な時間にわたって広大な中間領域で立ち往生するためです。 、EXITから離れる方向に向いている非常に多くのエッジは、それを中央に向かって押し戻す「反発力」として機能します。 彼らが議論を形式化した方法は、それが〜2 n / 2の頂点を訪れるまで、ランダム化されたアルゴリズムがグラフ内でサイクルを見つけさえしないことを示すことでした：今まで見られた誘導部分グラフは、 EXIT頂点の位置に関する情報。 この問題のランダム化されたクエリの複雑さをより正確に特定することに興味があります。私の質問はこれです： 誰でも〜2 n未満のステップでEXIT頂点を見つける古典的なアルゴリズムを思いつくことができますか？---たとえば、O（2 n / 2）、またはO（2 2n / 3）で？あるいは、誰かがΩ（2 n / 2）より良い下限を与えることができますか？ （誕生日の逆説では、O（2 n / 2）ステップ後のグラフでサイクルを見つけるのは難しくありません。問題は、EXIT頂点がどこにあるかについての手がかりを得るためにサイクルを使用できるかどうかです。） 誰かがΩ（2 n / 2）を超えて下限を改善できるなら、私の知る限り、これはランダムなクエリの複雑さが√Nより大きい指数量子高速化を伴うブラックボックス問題の最初の証明可能な例を提供します。（N〜2 nは問題のサイズです。） 更新： Andrew Childsから、このノートでは、FennerとZhangが、結合ツリーのランダム化された下限をΩ（2 n / 3）に明示的に改善することを学びました。彼らが（指数関数的に小さな）成功確率ではなく、一定の受け入れ確率を受け入れるなら、Ω（2 n / 2）までさらに限界を改善できると思います。
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モンテカルロアルゴリズムに関するYaoのミニマックスの原理
有名なヤオのミニマックスの原則は、分布の複雑さとランダム化された複雑さとの関係を述べています。LET有限集合に問題が入力と有限集合の解決する決定論的アルゴリズムの。また、が入力分布を示し、が確率分布を示すものとします。そして、原則は PPPXX\mathcal{X}AA\mathcal{A}PPPDD\mathcal{D}RR\mathcal{R}AA\mathcal{A}minA∈AEcost(A,D)≤maxx∈XEcost(R,x)for all D and R.minA∈AEcost(A,D)≤maxx∈XEcost(R,x)for all D and R.\min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost(\mathcal{R},x) \quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$ and $\mathcal{R}$}. この証明は、ゼロサムゲームのフォンノイマンのミニマックス定理から直接得られます。 ほとんどのYaoの原則は、ラスベガスのアルゴリズムのみを扱いますが、次のようにモンテカルロアルゴリズムに一般化できます。 12minA∈AEcost2ϵ(A,D)≤maxx∈XEcostϵ(R,x)for all D, R and ϵ∈[0,1/2]12minA∈AEcost2ϵ(A,D)≤maxx∈XEcostϵ(R,x)for all D, R and ϵ∈[0,1/2]\frac12 \min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost_{2\epsilon}(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost_{\epsilon}(\mathcal{R},x)\quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$ and $\epsilon\in [0,1/2]$} ここで、costϵ(⋅,⋅)costϵ(⋅,⋅)cost_\epsilon(\cdot,\cdot)は、確率が最大\ epsilonであるモンテカルロアルゴリズムのコストを示しϵϵ\epsilonます。 八尾の元の論文、モンテカルロアルゴリズムの関係を証明することなく、定理3で与えられます。それを証明するためのヒントはありますか？
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「メディアントリック」をより高い次元に一般化する？
無作為化アルゴリズムのための実数値をとり、「メジアントリック」は、任意の閾値と故障の確率を低減するための簡単な方法であるδ &gt; 0だけ乗算のコストで、T = O （ログ1AA\mathcal{A}δ&gt; 0δ&gt;0\delta > 0オーバーヘッド。場合すなわち、Aの出力が『良好範囲』に該当するIは=[、B]（少なくとも）確率で2/3次に、独立したコピー実行中、A1、...、Tを、その出力の平均を取ります1、...、tはに落ちた値になりますI、少なくとも確率で1-δチャーノフ/ Hoeffdingの境界によります。t = O （log1δ）t=O(log⁡1δ)t=O(\log\frac{1}{\delta})AA\mathcal{A}私= [ a 、b ]I=[a,b]I=[a,b]2 / 32/32/3A1、… 、AtA1,…,At\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_ta1、… 、ata1,…,ata_1,\dots,a_t私II1 - δ1−δ1-\delta この「トリック」をより高い次元、たとえばに一般化して、良好な範囲が凸集合（またはボール、または十分に素晴らしく構造化された集合）になりましたか？すなわち、A無作為化アルゴリズムを考えると、あるA出力の値のR D、および"良好な集合" S ⊆ R DようにPを R { A（X 、R ）∈ S } ≥ 2 / 3のすべてのためのx、どのように高めることができ1 - δへの成功の確率RdRd\mathbb{R}^dAA\mathcal{A}RdRd\mathbb{R}^dS⊆ RdS⊆RdS\subseteq \mathbb{R}^dPr{A(x,r)∈S}≥2/3Pr{A(x,r)∈S}≥2/3\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3xxx1−δ1−δ1-\delta対数コストのみで？1/δ1/δ1/\delta …
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濃度限界のフローチャート
テールバウンドを教えるときは、通常の進行を使用します。 rvが正の場合、マルコフの不等式を適用できます あなたは独立して持っている場合も有界変動を、あなたはチェビシェフの不等式を適用することができます 独立した各rvにもすべてのモーメントが制限されている場合は、チェルノフ境界を使用できます。 この後、物事は少し少なくなります。例えば 変数の平均がゼロの場合、バーンスタインの不等式がより便利です 結合関数がリプシッツであるということだけがわかっている場合、一般化されたMcDiarmidスタイルの不等式があります。 弱い依存関係がある場合は、シーゲルスタイルの境界があります（負の依存関係がある場合は、ヤンソンの不平等があなたの友人かもしれません） 「正しい」テールバインドの選択方法を説明する便利なフローチャートまたは決定ツリーへの参照はありますか（または、タラグランドの海に飛び込む必要がある場合でも）。 私は部分的には参考資料を持っているように、一部は生徒にそれを指摘できるように、そして一部は私が十分にイライラしていない場合は自分で作成しようとするかもしれないからです。
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ジェンセンの不等式以外の
場合fff凸関数であり、次いで、ジェンセンの不等式の状態そのf(E[x])≤E[f(x)]f(E[x])≤E[f(x)]f(\textbf{E}[x]) \le \textbf{E}[f(x)]、及び必要な変更を加えたときfff凹状です。明らかに最悪の場合、凸fのf （E [ x ] ）に関して上限を設定することはできませんが、fの場合、この方向に向かう境界がありますE[f(x)]E[f(x)]\textbf{E}[f(x)]f(E[x])f(E[x])f(\textbf{E}[x])ffffff凸であるが「あまり凸でない」？凸関数で条件を与えることいくつかの標準的な限界がありfffあなたがその結論できるようになること（必要であれば、同様に、おそらく分布）E[f(x)]≤φ(f)f(E[x])E[f(x)]≤φ(f)f(E[x])\textbf{E}[f(x)] \le \varphi(f)f(\textbf{E}[x])ここで、φ(f)φ(f)\varphi(f)はfの曲率/凸度のfffですか？おそらく、リプシッツの状態に似たものでしょうか？
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多項式時間での平均の推定
ましょう関数とすることが我々は、平均推定する。：つまり、。f:{0,1}n→(2−n,1]f:{0,1}n→(2−n,1]f \colon \lbrace 0,1 \rbrace ^ n \to (2^{-n},1]fffE[f(n)]=2−n∑x∈{0,1}nf(x)E[f(n)]=2−n∑x∈{0,1}nf(x)\mathbb{E}[f(n)]=2^{-n}\sum_{x\in \lbrace 0,1 \rbrace ^ n}f(x) NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!) レッツ（ランダム化された）推定アルゴリズムで。はへのブラックボックスアクセスがあると仮定します。これをます。EEEEEEfffEfEfE^f 2つの条件があります。 1）推定器の実行時間：すべてのおよびすべてのについて、の実行時間がによって制限されるような単一の多項式が存在します。p(⋅)p(⋅)p(\cdot)nnnfffEf(1n)Ef(1n)E^f(1^n)p(n)E[f(n)]p(n)E[f(n)]\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]} 自信を持って2）推定の精度：δδ\delta単一の多項式が存在する、全てのこのようなことはおよびすべての、我々が持っている少なくとも確率。q(⋅)q(⋅)q(\cdot)nnnfff1q(n)&lt;Ef(1n)E[f(n)]&lt;q(n)1q(n)&lt;Ef(1n)E[f(n)]&lt;q(n){1 \over {q(n)}} < \frac{E^f(1^n)}{\mathbb{E}[f(n)]} < …
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