多項式時間での平均の推定

ましょう関数とすることが我々は、平均推定する。：つまり、。$f \colon \lbrace 0,1 \rbrace ^ n \to (2^{-n},1]$$f$$\mathbb{E}[f(n)]=2^{-n}\sum_{x\in \lbrace 0,1 \rbrace ^ n}f(x)$

NOTE: In the OP, the range of f was [0,1]. I changed this a bit for technical reasons. (This should simplify the problem; if not, forget it!)

レッツ（ランダム化された）推定アルゴリズムで。はへのブラックボックスアクセスがあると仮定します。これをます。$E$$E$$f$$E^f$

2つの条件があります。

1）推定器の実行時間：すべてのおよびすべてのについて、の実行時間がによって制限されるような単一の多項式が存在します。$p(\cdot)$$n$$f$$E^f(1^n)$$\frac{p(n)}{\mathbb{E}[f(n)]}$

自信を持って2）推定の精度：$\delta$単一の多項式が存在する、全てのこのようなことはおよびすべての、我々が持っている少なくとも確率。$q(\cdot)$$n$$f$${1 \over {q(n)}} < \frac{E^f(1^n)}{\mathbb{E}[f(n)]} < q(n)$$\delta$

NOTE: The confidence δ was not in the OP. The parameter δ is in (0,1), and may depend on n. For instance, it may be 1-1/2^n.

そのような推定量は存在しますか？

背景と動機

多くの背景知識を必要とするため、最初に動機について言及しませんでした。とにかく、愛好家のために、私はそれを簡単に説明します。そのような推定量の必要性は、以下の記事で定義されている「能力の証明」の文脈で生じます。

Mihir Bellare、Oded Goldreich。計算能力の証明、1992年。未発表の原稿。

具体的には、ページ5の下部で、著者はそのような推定量の存在を暗黙的に想定しています（精度についての言及はなく、実行時間は正確に定義されていませんが、コンテキストはすべてを明確に定義します）。

私の最初の試みは、「サンプラーのサンプル---サンプリングに関する計算の視点」を読むことでした。それは非常に似た問題に関係しますが、定義されたエラー確率は加法的ですが、私たちの問題は乗法的です。（私は論文を完全に読んでいませんでした、多分それは私がどこかで必要とするものに言及しています。）

編集（剛の要求による）：実際、「計算能力の証明」の定義には、（予想される）実行時間がである「知識抽出」の存在が必要です。わからないので、推定したいです。しかし、これは実行時間を大幅に変更してはなりません。多項式ファクターまで変更する必要があります。精度条件は、そのような要件をキャプチャしようとします。$p(n) \over E[f(n)]$$E[f(n)]$

編集：これは、fが0または1のみを出力する問題のバージョンを解決します。しかし、より一般的なケースで動作するように解決策を適応させることができると思います。

たぶん私は質問を誤解したかもしれませんが、これはそれほど難しく見えません。

平均を推定する代わりに、1の数を推定して、その数をkと呼びましょう。してみましょう。したがって、平均はk / Nです。時間O（N polylog（N）/ k）の多項式乗算係数内でこれを推定します。$N = 2^n$

これは、任意の定数乗法因子内でも実行できると思います。たとえば、これを2倍以内に推定するとします。したがって、アルゴリズムの出力はk / 2〜2kの間になります。$k'$

適切な実行時間を持つアルゴリズムをスケッチします。最初にkがN / 2とNの間にあるかどうかを確認します。これは簡単です。いくつかのランダムな値をサンプリングするだけで、1を半分以上超える場合はこの間隔になります。したがって、2つの近似値があります。そうでない場合は、N / 4とN / 2の間にあるかどうかを確認します。等々。間隔を小さくするたびに、kがその範囲内にあるかどうかを見積もるのに費用がかかります。しかし、コストは間隔がどれだけ小さいかに反比例します。

たとえば、kが間にあるかどうかをチェックしている場合と 2 N / 2 qの、約 O （2 q）クエリを作成する必要があります。とにかく、この手順を十分に繰り返した後、kが存在する間隔を取得する必要があります。kが N / 2 qと 2 N / 2 qの間にあるとしましょう。この場合、kは約 N / 2 qです。だから 2 $N/2^q$$2N/2^q$$O(2^q)$$N/2^q$$2N/2^q$$N/2^q$$2^q$約k / Nです。したがって、このステップでは、O（k / N）クエリを使用します。しかし、このステップに到達するには他のqステップが必要でしたが、それは単なる余分なpolylog（N）要因です。したがって、全体の実行時間はO（N polylog（N）/ k）になります（2近似の場合）。

（実際には、各ステップで適切な精度を得るためにエラー増幅を行う必要があります。しかし、それは余分なポリログ要因です。）

このいくつかの段階のプロセスでそれを考えるのが好きな理由は、プロセスを推測およびチェックの手順として強調するからです。誰かがあなたに言った場合間にあるN / 2 、Q及び2 のn / 2 Q、あなたは束縛約束の時間に、この事実を知って、より良い精度にそれを見積もることができます。そのため、kの推測を与えるステップを排除する必要があります。これは、そのタイプの可能なすべての間隔でのバイナリ検索によって行われます。$k$$N/2^q$$2n/2^q$$k$

非ブール出力の場合にこれを機能させるには、1の数をカウントする代わりに、表示された値を合計するだけです。これが厳密に機能することを示すリファレンスを見つけようとします。

ましょうの値を示し、Fからの（置換を有する）のランダムサンプルを無限シーケンスに適用{ 0 、1 } nは。ましょうkがこと以上の正の整数であるようなΣは、kをiは= 1を F I ≥ Mいくつかの値のM、恐らくM = P O L Y L O G （N ）。推定量M $f_1,f_2,\ldots$$f$$\{0,1\}^n$$k$$\sum_{i=1}^k f_i \ge M$$M$$M=polylog(n)$はあなたが望むことを成し遂げるべきです。$M / k$

分析では、チェルノフ境界をランダム変数直接適用することはできませんが、とにかくチェルノフを使用できるようにするためのコツがあります。してみましょうμ、未知の期待表すE （Fを）。定数検索のk L O Wをし、kはH I GのH（の関数μをので確率で少なくともように）1 - δ我々はΣのk個のLをoをW iは= 1 fがI < MとΣ k個の$k$$\mu$$E(f)$$k_{low}$$k_{high}$$\mu$$1 - \delta$$\sum_{i=1}^{k_{low}} f_i < M$。これらのfiの合計は、チャーノフを使用して制限できます。その次のkLをoをW<K<KHIGのH少なくとも確率1-δしたがって推定M/kが十分に濃縮されています。$\sum_{i=1}^{k_{high}} f_i > M$$f_i$$k_{low} < k < k_{high}$$1-\delta$$M/k$