「メディアントリック」をより高い次元に一般化する？

無作為化アルゴリズムのための実数値をとり、「メジアントリック」は、任意の閾値と故障の確率を低減するための簡単な方法であるδ > 0だけ乗算のコストで、T = O （ログ1$\mathcal{A}$$\delta > 0$オーバーヘッド。場合すなわち、Aの出力が『良好範囲』に該当するIは=[、B]（少なくとも）確率で2/3次に、独立したコピー実行中、A1、...、Tを、その出力の平均を取ります1、...、tはに落ちた値になりますI、少なくとも確率で1-δチャーノフ/ Hoeffdingの境界によります。$t=O(\log\frac{1}{\delta})$$\mathcal{A}$$I=[a,b]$$2/3$$\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_t$$a_1,\dots,a_t$$I$$1-\delta$

この「トリック」をより高い次元、たとえばに一般化して、良好な範囲が凸集合（またはボール、または十分に素晴らしく構造化された集合）になりましたか？すなわち、A無作為化アルゴリズムを考えると、あるA出力の値のR D、および"良好な集合" S ⊆ R DようにPを R { A（X 、R ）∈ S } ≥ 2 / 3のすべてのためのx、どのように高めることができ1 - δへの成功の確率$\mathbb{R}^d$$\mathcal{A}$$\mathbb{R}^d$$S\subseteq \mathbb{R}^d$$\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3$$x$$1-\delta$対数コストのみで？$1/\delta$

（言葉で表現は異なる：arbirary、固定された所定の1、... 、T ∈ Rと Dを保証その少なくとも有する2 T$a_1,\dots, a_t\in \mathbb{R}^d$aiの 3はSに属しますが、Sから値を出力する手順はありますか？もしそうなら、効率的なものはありますか？）$\frac{2t}{3}$$a_i$$S$$S$

また、上記を実現するためにに必要な仮定の最小セットは何ですか？$S$

これが些細なことが判明した場合は申し訳ありません-この質問に関する参照を見つけることができませんでした...

探しているのはほぼ同じ堅牢な 中心傾向です。データポイントのクラウドを単一のポイントに減らす方法です。これにより、多くのデータポイントがいくつかの「グランドトゥルース」に近いが残りは任意に遠く離れている場合、出力もグラウンドトゥルースに近くなります。このような方法の「ブレークダウンポイント」は、許容できる任意に悪い外れ値の割合です。違いは、あなたの場合、「に近い」を「の凸包内」に置き換えることです。

これをキャプチャする1つの方法は、Tukey深度の概念を使用することです。指定されたポイントを含むすべての半空間に少なくともp n個のデータポイントが含まれている場合、ポイントにはTukeyの深さ（n個のデータポイントのセットに関して）があります。内側にしたい良好な凸部分空間がある場合、その中に少なくとも（1 − p ）n個のデータポイントがある限り、Tukey深さpの点はその内側になります。したがって、このメソッドのブレークダウンポイントは、到達可能なpの最大値です。$p$$n$$pn$$p$$(1-p)n$$p$

残念ながら、この内訳点はであり、Tukeyの深さおよび問題の両方で1/2に近い値ではありません。その理由は次のとおりです。データがシンプレックスのd + 1頂点の近くにクラスター化されている場合、それらの1 /（d + 1 ）未満の部分が外れ値である限り（ただし、どの頂点が不明か）シンプレックスは常に非外れ値の凸包内にあるため、選択しても安全です。ただし、1 /（d + 1 ）を超える場合$1/(d+1)$$d+1$$1/(d+1)$$1/(d+1)$ 点の外れ値になる可能性があり、選択できる安全な場所はありません。選択したシンプレックス内のいずれの点でも、外れ値は最も近いシンプレックス頂点からのすべての点になり、非-外れ値。

ような、より悪いブレークダウンポイントを容認する場合は、nとdの両方の多項式である深いポイントを見つけるためのランダム化された方法があります：私の論文を参照してください$O(1/d^2)$$n$$d$

反復ラドンポイントによる中心点の近似、K。クラークソン、D。エップスタイン、GLミラー、C。スチュリバント、およびS.-H. テン、 第9回ACM Symp。比較 Geom。、サンディエゴ、1993、pp。91–98、 Int。J. Comp。Geom。＆Appl。6（3）：357–377、1996、http：//kenclarkson.org/center/p.pdf

これはきちんとした質問であり、私はそれについて以前に考えました。ここに私たちが思いついたものがあります：

あなたは、アルゴリズムの実行の出力を得るために時間をX 1、⋯ 、X のn ∈ Rの dは、あなたは、高い確率でどのような大きな部分を知っているのx Iいくつかの良いセットにsの秋をG。Gが何であるかはわかりませんが、凸であるというだけです。良いニュースは、Gについてそれ以上の情報なしでポイントを取得する方法があるということです。この点をf （x 1、⋯ 、x n）と呼びます。$n$$x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}^d$$x_i$$G$$G$$G$$f(x_1, \cdots, x_n)$

定理。すべての自然数およびdについて、関数fが存在します：（R d ）n → R dは、以下が成り立つようなものです。レッツは、xは1。。。X N ∈ Rの Dおよびlet G ⊂ Rは、 dは満足凸集合である$n$$d$$f : (\mathbb{R}^d)^n \to \mathbb{R}^d$$x_1 ... x_n \in \mathbb{R}^d$$G \subset \mathbb{R}^d$次いで、F（X1、。。。、XのN）∈G。さらに、fはndの時間多項式で計算できます。 $$\frac{1}{n}\left|\left\{ i \in [n] : x_i \in G \right\}\right| > \frac{d}{d+1}.$$ $f(x_1, ..., x_n) \in G$$f$$n^d$

場合、fを中央値に設定できることに注意してください。したがって、これはd > 1の中央値を一般化する方法を示しています。$d=1$$f$$d>1$

この結果を証明する前に、とし、x 1、⋯ 、x dを標準基底要素とし、x d + 1 = 0とします。ポイントのdのサブセットは、次元d − 1のアフィン空間G（これらのポイントによって一意に定義される）に含まれます。しかし、これらのアフィン空間のすべてにポイントは含まれていません。したがって、いくつかの凸あるG含まN ⋅ D /（D $n=d+1$$x_1, \cdots, x_d$$x_{d+1}=0$$d$$G$$d-1$$G$ポイントですが、 f （x 1、⋯ 、x n）を含みません。$n\cdot d/(d+1)=d$$f(x_1, \cdots, x_n)$

証明。次の結果を使用します。

ヘリーの定理。してみましょうはR dの凸部分集合です。d + 1 K i sの交点が空でないと仮定します。この場合、すべてのK i sの共通部分は空ではありません。$K_1 ... K_m$$\mathbb{R}^d$$d+1$ $K_i$$K_i$

ヘリーの定理の証明については、ここをクリックしてください。

ここで定理を証明します：

ましょう上部の点ではない数に拘束されることG。すべての閉じた半空間K 1を考えます。。。K M ⊂ Rの D少なくとも含むN - Kのそれらそれらの境界が最大ランクの点の集合を含有する点（これは各としてhalfspacesの有限数であるK iは、によって定義されるD + 1つの境界上の点）。$k<n/(d+1)$$G$$K_1 ... K_m \subset \mathbb{R}^d$$n-k$$K_i$$d+1$

各の補数には最大でk個のポイントが含まれます。ユニオン境界により、任意のd + 1 K i sの交点には少なくともn − k （d + 1 ） > 0ポイントが含まれます。ヘリーの定理（半空間は凸であるため）により、すべてのK i sの交点に点があります。我々は、聞かせてFはの交差点内の任意の点計算する関数であるK iは秒。$K_i$$k$$d+1$ $K_i$$n-k(d+1)$$K_is$$f$$K_i$

残っているのは、 sの交差がGに含まれていることを示すことだけです。$K_i$$G$

一般性を失うことなく、はフルランクのポイントのサブセットの凸包です。つまり、Gを、含まれているポイントの凸包で置き換えることができます。これにフルランクがない場合、低次元で定理を単純に適用できます。$G$$G$

各面は半空間を定義します。ここで、Gはこれらの半空間の交点です。これらの各半空間にはGが含まれているため、少なくともn − k個の点が含まれています。これらの半空間の1つの境界には、Gの面が含まれているため、最大ランクの点のセットが含まれています。したがって、これらの各半空間はK iです。したがって、必要に応じて、すべてのK iの交点がGに含まれます。$G$$G$$G$$n-k$$G$$K_i$$K_i$$G$

を計算するには、線形制約がK i sに対応し、実行可能な解がすべてのK i sの交差点に対応する線形プログラムを設定します。 QED$f$$K_i$$K_i$

残念ながら、この結果は高次元の設定ではあまり実用的ではありません。良い質問は、より効率的に計算できるかどうかです。$f$

未解決の問題。上記の定理を、nとdの時間多項式でを計算できるという追加の結論で証明します。 $f$$n$$d$

$x_1, \cdots, x_n$$B(y,\varepsilon)$$z$$B(y,3\varepsilon)$$n$$d$$z=x_i$$i$$B(z,2\varepsilon)$

さまざまな名前で知られている高次元および一般的な標準の点のセットの中央値の概念があります。セット内のすべてのポイントまでの距離の合計を最小化するのは、ポイントだけです。距離のわずかな乗法的増加を伴う通常の中央値と同様の信頼性増幅特性を持つことが知られています。詳細については、このペーパーの定理3.1を参照してください。http：//arxiv.org/pdf/1308.1334.pdf

このホワイトペーパーが示す良い点の1つは、距離が増加する要因は、任意の高い（ただし定数<1）信頼度から増幅できる場合、1を超える定数にできることです。

編集：スーによってトピックに関する他の最近の論文があるとサバトhttp://arxiv.org/pdf/1307.1827v6.pdf それは主に分析し、手続きを適用するもので、残りの最小の中央値の距離とセットでのポイントポイントの使用されます。この手順はどのメトリックでも使用できますが、近似係数は3のみです。